Prove que:
x) Se
, então
, para qualquer conjunto
.
x) Se
Passo 1
Beleza, aqui o enunciado diz: “Se
, então
para qualquer conjunto
.”
Isso é Teoria de Conjuntos, mais especificamente sobre inclusão (o que significa “ ”) e união (o que significa “
”).
Para resolver a gente vai usar:
Isso é Teoria de Conjuntos, mais especificamente sobre inclusão (o que significa “
Para resolver a gente vai usar:
- Definição de
: todo elemento de também está em . - Definição de
: isso rola se, e somente se, ou . - Prova por “análise de elemento genérico”: pega um
e mostra que ele está em .
Passo 2
Vamos começar a prova “catando” um elemento qualquer. Seja
tal que:
Pela definição de união, isso significa que ou
-
,
ou -
.
Passo 3
Agora, tratamos os dois casos:
Caso 1: Se , como a gente sabe que
, concluímos que
.
Caso 2: Se , beleza, então já temos
.
Caso 1: Se
Caso 2: Se
Em ambos os casos, ou
ou
. Mas pela definição, isso é exatamente dizer que
Passo 4
A gente mostrou que todo elemento
que está em
também está em
.
Isso, por definição de inclusão, dá
Isso, por definição de inclusão, dá
Resposta
Logo, provamos que se
então
.