Prove que:
x) Se A subset B, então A cup X subset B cup X, para qualquer conjunto X.

Passo 1

Beleza, aqui o enunciado diz: “Se , então para qualquer conjunto .”
Isso é Teoria de Conjuntos, mais especificamente sobre inclusão (o que significa “ ”) e união (o que significa “ ”).
Para resolver a gente vai usar:
  1. Definição de : todo elemento de também está em .
  2. Definição de : isso rola se, e somente se, ou .
  3. Prova por “análise de elemento genérico”: pega um e mostra que ele está em .

Passo 2

Vamos começar a prova “catando” um elemento qualquer. Seja y in Acup X tal que:
Pela definição de união, isso significa que ou
  1. ,
    ou
  2. .

Passo 3

Agora, tratamos os dois casos:
Caso 1: Se y in Bcup X , como a gente sabe que , concluímos que .
Caso 2: Se , beleza, então já temos .
Em ambos os casos, ou ou . Mas pela definição, isso é exatamente dizer que

Passo 4

A gente mostrou que todo elemento Acup X ;subset; Bcup X que está em também está em .
Isso, por definição de inclusão, dá

Resposta

Logo, provamos que se então .

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