Sejam A, B e C. Prove as afirmações abaixo.
i) Se A está contido em B, então A cap B^c=varnothing.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz: “Sejam Acap B^c = varnothing , e . Prove que, se , então
Isso faz parte de teoria de conjuntos. A gente vai usar as definições de:
  • (todo elemento de tá em ),
  • o complemento ,
  • interseção ,
  • e o conjunto vazio (nenhum elemento).

Passo 2

Vamos tentar um argumento por contradição: suponha que exista um elemento
x ,in, Acap B^c
Pelo que define a interseção, isso significa duas coisas ao mesmo tempo:
  1. ,
  2. , ou seja .

Passo 3

Mas como a hipótese é xin B , a definição disso é: “se , então ”. Como vimos em (1) que , a gente conclui que

Passo 4

Agora repare na contradição: de um lado, da definição de (no item 2) a gente tinha ; de outro, pela inclusão (no passo 3) a gente concluiu . Não dá pra uma mesma coisa ser e não ser ao mesmo tempo em relação a .

Passo 5

Essa contradição mostra que a suposição “existe Acap B^c = varnothing ” é falsa. Logo não existe nenhum elemento em . Por definição, isso quer dizer que

Resposta

Exercícios relacionados