Sejam
e
. Prove as afirmações abaixo.
i) Se
está contido em
, então
.
i) Se
Passo 1
Beleza, o enunciado diz: “Sejam
,
e
. Prove que, se
, então
Isso faz parte de teoria de conjuntos. A gente vai usar as definições de:
-
(todo elemento de tá em ), - o complemento
, - interseção
, - e o conjunto vazio
(nenhum elemento).
Passo 2
Vamos tentar um argumento por contradição: suponha que exista um elemento
Pelo que define a interseção, isso significa duas coisas ao mesmo tempo:
-
, -
, ou seja .
Passo 3
Mas como a hipótese é
, a definição disso é: “se
, então
”. Como vimos em (1) que
, a gente conclui que
Passo 4
Agora repare na contradição: de um lado, da definição de
(no item 2) a gente tinha
; de outro, pela inclusão
(no passo 3) a gente concluiu
. Não dá pra uma mesma coisa ser e não ser ao mesmo tempo em relação a
.
Passo 5
Essa contradição mostra que a suposição “existe
” é falsa. Logo não existe nenhum elemento em
. Por definição, isso quer dizer que