Dado o conjunto B=\{\{\varnothing\}, 2,\{2,3\},\{4\}, 7, d\}, assinale \vee ou F nas sentenças abaixo. Justifique suas respostas.
a) \varnothing \in B
f) \{2,3\} \subset B
b) \{\varnothing\} \in B
g) \{2,7\} \subset B
c) \{\varnothing\} \subset B
h) d \in B
d) \varnothing \subset B
i) \{\{4\}\} \in B
e) \{\{\varnothing\}\} \subset B
j) \{\varnothing, 2,\{3\}\} \subset B

Passo 1

O enunciado nos dá o conjunto
B = \{\{\varnothing\},\,2,\,\{2,3\},\,\{4\},\,7,\,d\}
e pede para marcar Verdadeiro (V) ou Falso (F) em cada uma das sentenças envolvendo relação de elemento “ \in” e de subconjunto “ \subset” com B.

Passo 2

Lembrando as definições:
– Para uma sentença do tipo \,x\in B, devemos verificar se o objeto x é exatamente um dos elementos listados em B.
– Para uma sentença do tipo \,S\subset B, devemos checar se todo elemento de S pertence a B.

Passo 3

a) \varnothing\in B?
Os elementos de B são \{\varnothing\}, 2, \{2,3\}, \{4\}, 7 e d. O conjunto vazio \varnothing não aparece isolado, aparece apenas dentro de \{\varnothing\}.
Logo, \varnothing\notin B.
Resposta: F.
b) \{\varnothing\}\in B?
Esse conjunto está exatamente listado como primeiro elemento de B.
Logo, \{\varnothing\}\in B.
Resposta: V.

Passo 4

c) \{\varnothing\}\subset B?
Aqui precisamos que cada elemento de \{\varnothing\} (isto é, somente \varnothing) esteja em B. Mas vimos em (a) que \varnothing\notin B.
Logo, \{\varnothing\}\not\subset B.
Resposta: F.
d) \varnothing\subset B?
O conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto por definição (não há elemento em \varnothing para violar a inclusão).
Logo, \varnothing\subset B.
Resposta: V.

Passo 5

e) \{\{\varnothing\}\}\subset B?
O único elemento de \{\{\varnothing\}\} é \{\varnothing\}. Como \{\varnothing\}\in B (veja b), todas as condições estão satisfeitas.
Logo, \{\{\varnothing\}\}\subset B.
Resposta: V.
f) \{2,3\}\subset B?
Temos de verificar se 2\in B e 3\in B. Sabemos que 2\in B, mas 3 não está listado (apenas \{2,3\} está como elemento).
Logo, \{2,3\}\not\subset B.
Resposta: F.

Passo 6

g) \{2,7\}\subset B?
Verificamos 2\in B e 7\in B; ambos são elementos de B.
Logo, \{2,7\}\subset B.
Resposta: V.
h) d\in B?
O símbolo d aparece explicitamente entre os elementos de B.
Logo, d\in B.
Resposta: V.

Passo 7

i) \{\{4\}\}\in B?
O conjunto \{\{4\}\} tem como único elemento \{4\}. Para que valha \in B, deveríamos ter \{\{4\}\}= algum elemento de B. Mas B contém \{4\}, não \{\{4\}\}.
Logo, \{\{4\}\}\notin B.
Resposta: F.
j) \{\varnothing,2,\{3\}\}\subset B?
Para isso, precisaríamos de \varnothing\in B, 2\in B e \{3\}\in B. Já vimos que \varnothing\notin B, e \{3\} também não aparece em B.
Logo, \{\varnothing,2,\{3\}\}\not\subset B.
Resposta: F.

Resposta

a) F
b) V
c) F
d) V
e) V
f) F
g) V
h) V
i) F
j) F

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