Escreva o vetor v=(-2,5) como combinação linear dos vetores u=(2,1) e w=(4,-1).

Passo 1

O enunciado pede para expressar o vetor v = (-2,5) como combinação linear dos vetores u = (2,1) e w = (4,-1). O conteúdo aqui é resolução de sistema linear para encontrar escalares \alpha e \beta tais que
v = \alpha\,u + \beta\,w.

Passo 2

Escrevendo a igualdade componente a componente, temos
(\,-2,\,5) = \alpha\,(2,1) + \beta\,(4,-1).
Isso gera o sistema
\begin{cases} 2\alpha + 4\beta = -2,\\\ \alpha - \beta = 5. \end{cases}

Passo 3

Para resolver, isolamos \alpha na segunda equação:
\alpha = 5 + \beta.
Substituindo na primeira:
2(5 + \beta) + 4\beta = -2 \quad\Longrightarrow\quad 10 + 2\beta + 4\beta = -2 \quad\Longrightarrow\quad 6\beta = -12 \quad\Longrightarrow\quad \beta = -2.

Passo 4

Com \beta = -2, obtemos
\alpha = 5 + (-2) = 3.
Logo os escalares são \alpha = 3 e \beta = -2.

Resposta

v = 3\,u - 2\,w.

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