Dado o conjunto A=\{\varnothing,\{\varnothing,\{\varnothing\}\}\}, diga quais das alternativas abaixo são verdadeiras, sempre justificando suas respostas.
\{\varnothing\} \subset A.

Passo 1

O enunciado dá o conjunto
A=\{\varnothing,\{\varnothing,\{\varnothing\}\}\}
e pergunta se a afirmação
\{\varnothing\}\subset A
é verdadeira. Ou seja, precisamos verificar se o conjunto \{\varnothing\} é subconjunto de A. Informação relevante dada: os elementos escritos explicitamente de A são \varnothing e o conjunto \{\varnothing,\{\varnothing\}\}.

Passo 2

Definição esclarecedora (passo-a-passo):
  • Dizemos que B\subset A quando todo elemento de B também é elemento de A. Em símbolos: B\subset A significa que para todo x, se x\in B então x\in A.
  • Atenção ao choque comum de ideias: x\in A significa “ x é um elemento de A”; já B\subset A fala sobre inclusão de todos os elementos de B em A. Um conjunto pode ser subconjunto de A mesmo que não seja elemento “direto” de A.

Passo 3

Listar os elementos de \{\varnothing\}:
\{\varnothing\}
é o conjunto cujo único elemento é \varnothing. Em outras palavras, os elementos de \{\varnothing\} são exatamente os que aparecem dentro das chaves: só \varnothing.

Passo 4

Verificar se esse(s) elemento(s) pertencem a A:
  • O elemento que temos que testar é \varnothing.
  • Pelo enunciado (peguei este dado do enunciado), A contém explicitamente \varnothing como um de seus elementos, pois
A=\{\varnothing,\;\{\varnothing,\{\varnothing\}\}\}.
Logo \varnothing\in A.

Passo 5

Concluir a relação de subconjunto com base nos passos anteriores:
  • Como o único elemento de \{\varnothing\} é \varnothing e já verificámos que \varnothing\in A, segue que todo elemento de \{\varnothing\} pertence a A.
  • Pelas regras de definição, isso é exatamente o que significa \{\varnothing\}\subset A.

Passo 6

Clarificação adicional (para evitar confusão que costuma acontecer em prova):
  • Note que isso NÃO implica necessariamente que \{\varnothing\}\in A. De fato, os elementos de A são \varnothing e \{\varnothing,\{\varnothing\}\}; o conjunto \{\varnothing\} não aparece como elemento direto de A (ou seja, \{\varnothing\}\notin A). Mas isso não interfere: mesmo assim \{\varnothing\} pode ser subconjunto de A, como acabamos de mostrar.

Resposta

Verdadeira.

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