Nos itens a seguir, diga quais condições os elementos
devem cumprir para que a igualdade seja satisfeita.
.
.
Passo 1
O enunciado dá a igualdade entre dois conjuntos:
O que se pede: determinar quais condições os elementos
devem cumprir para que essa igualdade seja verdadeira.
Informações relevantes que o enunciado fornece:
- O conjunto à esquerda tem dois elementos: o elemento
e o elemento . - O conjunto à direita tem dois elementos: o elemento
e o elemento . - Igualdade de conjuntos significa que eles têm exatamente os mesmos elementos (sem ordem).
Passo 2
Lembrete rápido sobre igualdade de conjuntos (aula curta): dois conjuntos
e
são iguais se, e somente se, todo elemento de
pertence a
e todo elemento de
pertence a
. Em particular, quando comparamos conjuntos com poucos elementos, podemos ver que os elementos de um lado devem coincidir (tal qual) com os do outro, podendo aparecer em qualquer ordem.
Aplicando isso aqui, os dois elementos do conjunto esquerdo (chame-os de elemento
e elemento
) devem coincidir, como conjunto, com os dois elementos do lado direito (chame-os
e
). Logo existem duas possibilidades de emparelhamento (por causa da ordem irrelevante):
Passo 3
Analisar a possibilidade (ii) (troca dos papéis). Vamos ver se é possível ter
Observe os cardinais (número de elementos):
- O conjunto
é um singleton: tem exatamente 1 elemento (que é ). - O conjunto
tem normalmente 2 elementos: e . Só teria 1 elemento se e somente se , caso em que .
Se
então o lado esquerdo deve ser singleton, portanto
e então
. Assim seria necessário
, o que implica
. Mas
é o conjunto que contém
como elemento, logo
não pode ser o conjunto vazio. Conclusão: não existe
tal que
. Portanto a igualdade
é impossível. Assim a possibilidade (ii) é descartada.
Passo 4
Como a troca (ii) é impossível, resta apenas a possibilidade (i):
Agora deduzimos informação de cada uma.
Para
: como os conjuntos têm os mesmos elementos, cada elemento do lado esquerdo aparece no direito. Em particular
, logo ou
ou
. Simetricamente
, logo ou
ou
. Dessa análise todas as possibilidades levam a
. (Se um dos dois fosse
o outro também seria, mas isso é incluído em
.) Portanto
Para
: são dois singletons iguais, então seus únicos elementos são iguais:
Igualdade de conjuntos singleton
implica
. Portanto
Passo 5
Resumo e interpretação final: a única forma de igualdade dada ocorrer é quando os dois primeiros componentes coincidem e os dois segundos também coincidem. Isso resulta nas condições
Essas condições incluem também os casos especiais em que algum desses símbolos pode ser
; nada mais é exigido além da igualdade direta.