Nos itens a seguir, diga quais condições os elementos a, b, c, d devem cumprir para que a igualdade seja satisfeita.
{\{a, \varnothing\},{\{b\}}}={\{{c, \varnothing\},{\{d\}}\}}.

Passo 1

O enunciado dá a igualdade entre dois conjuntos:
\{\{a,\varnothing\},\,\{\{b\}\}\}=\{\{c,\varnothing\},\,\{\{d\}\}\}.
O que se pede: determinar quais condições os elementos a,b,c,d devem cumprir para que essa igualdade seja verdadeira.
Informações relevantes que o enunciado fornece:
  • O conjunto à esquerda tem dois elementos: o elemento \{a,\varnothing\} e o elemento \{\{b\}\}.
  • O conjunto à direita tem dois elementos: o elemento \{c,\varnothing\} e o elemento \{\{d\}\}.
  • Igualdade de conjuntos significa que eles têm exatamente os mesmos elementos (sem ordem).

Passo 2

Lembrete rápido sobre igualdade de conjuntos (aula curta): dois conjuntos X e Y são iguais se, e somente se, todo elemento de X pertence a Y e todo elemento de Y pertence a X. Em particular, quando comparamos conjuntos com poucos elementos, podemos ver que os elementos de um lado devem coincidir (tal qual) com os do outro, podendo aparecer em qualquer ordem.
Aplicando isso aqui, os dois elementos do conjunto esquerdo (chame-os de elemento E_1=\{a,\varnothing\} e elemento E_2=\{\{b\}\}) devem coincidir, como conjunto, com os dois elementos do lado direito (chame-os F_1=\{c,\varnothing\} e F_2=\{\{d\}\}). Logo existem duas possibilidades de emparelhamento (por causa da ordem irrelevante):
\text{(i)}\quad E_1=F_1\\ \text{e}\\ E_2=F_2 \quad\text{ou}\quad \text{(ii)}\quad E_1=F_2\\ \text{e}\\ E_2=F_1.

Passo 3

Analisar a possibilidade (ii) (troca dos papéis). Vamos ver se é possível ter
\{a,\varnothing\}=\{\{d\}\}.
Observe os cardinais (número de elementos):
  • O conjunto \{\{d\}\} é um singleton: tem exatamente 1 elemento (que é \{d\}).
  • O conjunto \{a,\varnothing\} tem normalmente 2 elementos: \varnothing e a. Só teria 1 elemento se e somente se a=\varnothing, caso em que \{a,\varnothing\}=\{\varnothing\}.
Se \{a,\varnothing\}=\{\{d\}\} então o lado esquerdo deve ser singleton, portanto a=\varnothing e então \{a,\varnothing\}=\{\varnothing\}. Assim seria necessário \{\{d\}\}=\{\varnothing\}, o que implica \{d\}=\varnothing. Mas \{d\} é o conjunto que contém d como elemento, logo \{d\} não pode ser o conjunto vazio. Conclusão: não existe d tal que \{d\}=\varnothing. Portanto a igualdade \{a,\varnothing\}=\{\{d\}\} é impossível. Assim a possibilidade (ii) é descartada.

Passo 4

Como a troca (ii) é impossível, resta apenas a possibilidade (i):
\{a,\varnothing\}=\{c,\varnothing\} \quad\text{e}\quad \{\{b\}\}=\{\{d\}\}.
Agora deduzimos informação de cada uma.
Para \{a,\varnothing\}=\{c,\varnothing\}: como os conjuntos têm os mesmos elementos, cada elemento do lado esquerdo aparece no direito. Em particular a\in\{c,\varnothing\}, logo ou a=c ou a=\varnothing. Simetricamente c\in\{a,\varnothing\}, logo ou c=a ou c=\varnothing. Dessa análise todas as possibilidades levam a a=c. (Se um dos dois fosse \varnothing o outro também seria, mas isso é incluído em a=c.) Portanto
a=c.
Para \{\{b\}\}=\{\{d\}\}: são dois singletons iguais, então seus únicos elementos são iguais:
\{b\}=\{d\}.
Igualdade de conjuntos singleton \{b\}=\{d\} implica b=d. Portanto
b=d.

Passo 5

Resumo e interpretação final: a única forma de igualdade dada ocorrer é quando os dois primeiros componentes coincidem e os dois segundos também coincidem. Isso resulta nas condições
a=c\quad\text{e}\quad b=d.
Essas condições incluem também os casos especiais em que algum desses símbolos pode ser \varnothing; nada mais é exigido além da igualdade direta.

Resposta

a=c
b=d

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