Dado um conjunto X=x in R mid 0, onde R representa o conjunto dos números reais. Se escolhermos ao acaso um número deste intervalo, calcule as probabilidades pedidas:
P(0 <= x <= 8)

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que a gente tem um conjunto X = {x ∈ ℝ | 0 < x < 8} e escolhe um número ao acaso nesse intervalo. A questão pede P(0 ≤ x ≤ 8). Isso é um problema de probabilidade contínua, mais especificamente a distribuição uniforme em um intervalo. Para resolver, vamos usar o conceito de que, numa distribuição uniforme contínua, a probabilidade de um subintervalo é a razão entre o tamanho desse subintervalo e o tamanho total do intervalo.

Passo 2

Entendendo a distribuição uniforme contínua:
Se X é uniformemente distribuída em [A, B], a densidade de probabilidade é constante em todo o intervalo e vale
fX(x) = 1B - A, A <= x <= B
Isso significa que a probabilidade de X cair entre P(a <= X <= b) = integrala^b fX(x),dx = integrala^b 1B - A,dx = b - aB - A e (com ) é

Passo 3

No nosso caso, embora o enunciado diga P(0 <= X <= 8) , para cálculo de probabilidades contínuas podemos trabalhar como se o intervalo fosse fechado: . Isso porque, em contínuo, a probabilidade de exatas iguais a 0 ou 8 é zero.
Logo, aqui e . Queremos

Passo 4

Aplicando a fórmula da probabilidade de um intervalo na distribuição uniforme:
P(0 <= X <= 8) = 8 - 08 - 0 = 88 = 1

Resposta

.

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