Dado o conjunto X=\left\{\left.1-\frac{(-1)^{n}}{n} \right\rvert\, n \in \mathbb{N}\right\}, conclua que \sup X=2 e \inf X=\frac{1}{2}.

Passo 1

O enunciado define o conjunto
X = \left\{\,1 - \frac{(-1)^n}{n}\mid n\in\mathbb{N}\right\}
e pede para determinar \sup X e \inf X. O conteúdo usado será a definição de supremum (menor majorante) e ínfimum (maior minorante), além de analisar os termos de X separando-os em duas “subsequências” conforme n seja par ou ímpar.

Passo 2

Observamos que para cada n\in\mathbb{N} vale
  • se n é par, então (-1)^n = 1 e
x_n = 1 - \frac{1}{n},
  • se n é ímpar, então (-1)^n = -1 e
x_n = 1 + \frac{1}{n}.
Assim podemos dividir
X = X_{\text{par}} \,\cup\, X_{\text{ímpar}}í
com
X_{\text{par}} = \bigl\{1 - \tfrac{1}{n}\mid n\text{ par}\bigr\}, \quad X_{\text{ímpar}} = \bigl\{1 + \tfrac{1}{n}\mid n\text{ ímpar}\bigr\}.íí

Passo 3

Analisando X_{\text{ímpar}} = \{\,1 + \tfrac{1}{n}:n=1,3,5,\dots\}í:
  • É fácil ver que essa sequência é decrescente conforme n cresce.
  • O maior valor ocorre em n=1, pois
1 + \frac{1}{1} = 2.
Logo 2 é um majorante de X_{\text{ímpar}}í e não existe valor em X_{\text{ímpar}}í maior que 2. Portanto
\max X_{\text{ímpar}} = 2.í

Passo 4

Analisando X_{\text{par}} = \{\,1 - \tfrac{1}{n}:n=2,4,6,\dots\}:
  • Essa sequência é crescente conforme n cresce.
  • O menor valor ocorre em n=2, pois
1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}.
Logo \tfrac{1}{2} é um minorante de X_{\text{par}} e não existe valor em X_{\text{par}} menor que \tfrac{1}{2}. Portanto
\min X_{\text{par}} = \frac{1}{2}.

Passo 5

Como todos os elementos de X_{\text{ímpar}}í são \ge1 e todos os de X_{\text{par}} são \le1, as extremidades do conjunto X ficam em
\sup X = \max X_{\text{ímpar}} = 2, \qquad \inf X = \min X_{\text{par}} = \frac{1}{2}.í

Resposta

\sup X = 2
\inf X = \tfrac{1}{2}

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