Mostre que para qualquer
, se
são tais que
, então
Passo 1
O enunciado pede para provar por indução em
que, dadas
com
segue
Vamos usar o princípio da indução matemática e a propriedade básica de que, se
, então
para qualquer
.
Passo 2
(Caso base
).
Para temos apenas
. Então
Para
que é exatamente
Logo, a afirmação vale para
.
Passo 3
(Passo indutivo).
Suponha que, para algum , valha
Suponha que, para algum
Queremos mostrar que então
Como
, aplicando a propriedade de preservação de desigualdade pela adição (isto é, se
então
), tomamos
Pela hipótese de indução
. Somando
a ambos os lados, obtemos
Agora, como
, somando
em ambas as desigualdades também dá
Combinando as duas cadeias de desigualdade, concluímos
ou seja, a propriedade se mantém para
.
Resposta
Por indução, a desigualdade
vale para todo
sempre que
para
.