Mostre que para qualquer n \in \mathbb{N}, se a_{1}, \ldots, a_{n}, b_{1}, \ldots, b_{n} \in \mathbb{R} são tais que a_{1}<b_{1}, \ldots, a_{n}<b_{n}, então
a_{1}+\ldots+a_{n}<b_{1}+\ldots+b_{n}

Passo 1

O enunciado pede para provar por indução em n\in\mathbb{N} que, dadas a_{1},\dots,a_{n},b_{1},\dots,b_{n}\in\mathbb{R} com
a_{i}<b_{i}\quad\text{para todo }i=1,\dots,n,
segue
a_{1}+\cdots+a_{n}<b_{1}+\cdots+b_{n}.
Vamos usar o princípio da indução matemática e a propriedade básica de que, se x<y, então x+z<y+z para qualquer z\in\mathbb{R}.

Passo 2

(Caso base n=1).
Para n=1 temos apenas a_{1}<b_{1}. Então
a_{1}<b_{1},
que é exatamente
a_{1}<b_{1}.
Logo, a afirmação vale para n=1.

Passo 3

(Passo indutivo).
Suponha que, para algum k\in\mathbb{N}, valha
a_{1}+\cdots+a_{k}<b_{1}+\cdots+b_{k}.
Queremos mostrar que então
a_{1}+\cdots+a_{k}+a_{k+1}<b_{1}+\cdots+b_{k}+b_{k+1}.
Como a_{k+1}<b_{k+1}, aplicando a propriedade de preservação de desigualdade pela adição (isto é, se X<Y então X+Z<Y+Z), tomamos
X = a_{1}+\cdots+a_{k},\quad Y = b_{1}+\cdots+b_{k},\quad Z = a_{k+1}.
Pela hipótese de indução X<Y. Somando a_{k+1} a ambos os lados, obtemos
a_{1}+\cdots+a_{k}+a_{k+1} < b_{1}+\cdots+b_{k}+a_{k+1}.
Agora, como a_{k+1}<b_{k+1}, somando b_{1}+\cdots+b_{k} em ambas as desigualdades também dá
b_{1}+\cdots+b_{k}+a_{k+1} < b_{1}+\cdots+b_{k}+b_{k+1}.
Combinando as duas cadeias de desigualdade, concluímos
a_{1}+\cdots+a_{k}+a_{k+1} < b_{1}+\cdots+b_{k}+b_{k+1},
ou seja, a propriedade se mantém para k+1.

Resposta

Por indução, a desigualdade
a_{1}+\cdots+a_{n}<b_{1}+\cdots+b_{n}
vale para todo n\in\mathbb{N} sempre que a_{i}<b_{i} para i=1,\dots,n.

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