Mostre que se x<y e z \in \mathbb{R}^{-}, então
y \cdot z<x \cdot z

Passo 1

O enunciado diz que x<y e que z\in\mathbb{R}^{-}, ou seja, z<0. Queremos mostrar que, sob essas hipóteses,
y\cdot z < x\cdot z.
Para isso vamos usar propriedades de inequações numéricas: subtração preserva ordem e produto de número positivo por número negativo é negativo.

Passo 2

Da hipótese x<y, subtraindo x de ambos os lados obtemos
y - x > 0.
Isso significa que y - x é um número positivo.

Passo 3

Como y - x>0 e z<0, o produto (y - x)\,z é negativo. Logo,
(y - x)\,z < 0.

Passo 4

Expandindo o produto, temos
(y - x)\,z = y\,z - x\,z.
Portanto
y\,z - x\,z < 0 \quad\Longrightarrow\quad y\,z < x\,z.

Resposta

y\cdot z < x\cdot z.

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