Encontre a primitiva de f(x)=x^{4}+2 x^{3}.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar uma primitiva (antiderivada) de f(x)=x^{4}+2x^{3}.
O conteúdo principal é a integração de polinômios, usando a regra de potência: \displaystyle \int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C.

Passo 2

Separamos a integral em duas parcelas pela linearidade:
\int\bigl(x^{4}+2x^{3}\bigr)\,dx =\int x^{4}\,dx+\int 2x^{3}\,dx.
Para a primeira parte, aplicamos a regra de potência com n=4:
\int x^{4}\,dx=\frac{x^{5}}{5}.

Passo 3

Para a segunda parte, fatoramos o 2 e integramos x^{3} com n=3:
\int 2x^{3}\,dx =2\int x^{3}\,dx =2\cdot\frac{x^{4}}{4} =\frac{x^{4}}{2}.

Passo 4

Somando os resultados e incluindo a constante de integração C, obtemos a primitiva geral:
F(x)=\frac{x^{5}}{5}+\frac{x^{4}}{2}+C.

Resposta

F(x)=\frac{x^{5}}{5}+\frac{x^{4}}{2}+C.

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