Encontre a primitiva d=f(x)=c^{2 x}.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar uma primitiva (ou seja, uma antiderivada) de
f(x) = c^{2x},
onde c é uma constante positiva, c\neq1. O conteúdo da matéria aqui é a integração de funções exponenciais gerais, para a qual usaremos a fórmula básica
\int e^{ax}\,dx = \frac{1}{a}\,e^{ax} + C.

Passo 2

Reescrevemos c^{2x} em termos da exponencial natural usando a identidade
c^{2x} = e^{\ln\bigl(c^{2x}\bigr)} = e^{2x\,\ln\text{(c)}}.

Passo 3

Aplicamos a fórmula de integração de exponencial, com a = 2\ln\text{(c)}. Assim,
\int e^{2x\,\ln\text{(c)}}\,dx = \frac{1}{2\ln\text{(c)}}\,e^{2x\,\ln\text{(c)}} + C.

Passo 4

Voltando à base c, temos e^{2x\,\ln\text{(c)}} = c^{2x}. Logo, a primitiva procurada é
\frac{c^{2x}}{2\ln\text{(c)}} + C.

Resposta

\int c^{2x}\,dx = \frac{c^{2x}}{2\ln\text{(c)}} + C.

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