Dado a>0, a curva x^3+y^3=3 a x y é conhecida como folium de Descartes. Seja D a região delimitada por essa curva (ilustrada abaixo). É possível mostrar que que gamma:[0, infty) R com gamma(t)=(x(t), y(t)), em que x(t)=3 a t1+t^3 e y(t)=t x(t) é uma parametrização para a fronteira partial D.
Simplifique a expressão -y(t) x^prime(t)+x(t) y^prime(t), usando que y(t)=t x(t).

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a expressão -y(t)x'(t)+x(t)y'(t) sabendo que y(t)=t,x(t). O conteúdo envolve cálculo de derivadas (regra do produto) e manipulação algébrica para obter uma forma mais simples em termos de x(t) e t.

Passo 2

Usando a regra do produto para y(t)=t,x(t), temos
y'(t)=ddtl(t,x(t)r)=x(t)+t,x'(t)

Passo 3

Agora substituímos em -y,x'+x,y' e vemos que muitos termos se cancelam:
-y,x'+x,y'=-t,x,x'+xl(x+t,x'r)=-t,x,x'+x^2+t,x,x'=x^2

Passo 4

Como resultado, a expressão simplifica-se para x(t)^2. Se quisermos escrever tudo em função de t, basta usar
x(t)=3a,t1+t^3Rightarrow x(t)^2=9a^2t^2(1+t^3)^2

Resposta

$ -y(t)x’(t)+x(t)y’(t)=x(t)2=\displaystyle\frac{9a2t2}{(1+t3)^2}$

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