Dado
, a curva
é conhecida como folium de Descartes. Seja
a região delimitada por essa curva (ilustrada abaixo). É possível mostrar que que
com
, em que
e
é uma parametrização para a fronteira
.
Calcule a área de
.
Calcule a área de
Passo 1
O enunciado pede a área da região D limitada pela curva folium de Descartes dada por x³ + y³ = 3 a x y (com a > 0), cuja fronteira ∂D é parametrizada por γ(t) = (x(t),y(t)), onde x(t) = 3 a t/(1+t³) e y(t) = t x(t). Vamos usar essa parametrização e cálculo de área via integração de linha.
Passo 2
Pela fórmula de Green em coordenadas cartesianas (ou pela fórmula de área por linha orientada), a área de D pode ser obtida por
que, usando a parametrização, vira
Passo 3
Primeiro calculamos y’(t). Como y(t) = t x(t) = \dfrac{3 a t2}{1+t3}, temos
Passo 4
Agora montamos o integrando x(t)y’(t):
Logo
Passo 5
Para avaliar I = ∫₀^∞ (2t² - t⁵)/(1+t³)³ dt, separamos em I = 2I₁ - I₂, onde
Passo 6
No I₁ usamos a substituição u = t³ ⇒ du = 3t² dt ⇒ t² dt = du/3. Assim
Passo 7
No I₂ reescrevemos t⁵ = t³·t² = u·t², logo usando de novo t² dt = du/3:
Chamando J = ∫₀^∞ u/(1+u)³ du, fazemos w = 1+u ⇒ u = w−1 e du = dw, obtendo
Assim
Passo 8
Juntando tudo: