Dado a>0, a curva x^3+y^3=3 a x y é conhecida como folium de Descartes. Seja D a região delimitada por essa curva (ilustrada abaixo). É possível mostrar que que gamma:[0, infty) R com gamma(t)=(x(t), y(t)), em que x(t)=3 a t1+t^3 e y(t)=t x(t) é uma parametrização para a fronteira partial D.
Calcule a área de D.

Passo 1

O enunciado pede a área da região D limitada pela curva folium de Descartes dada por x³ + y³ = 3 a x y (com a > 0), cuja fronteira ∂D é parametrizada por γ(t) = (x(t),y(t)), onde x(t) = 3 a t/(1+t³) e y(t) = t x(t). Vamos usar essa parametrização e cálculo de área via integração de linha.

Passo 2

Pela fórmula de Green em coordenadas cartesianas (ou pela fórmula de área por linha orientada), a área de D pode ser obtida por
A = ointpartial D x,dy
que, usando a parametrização, vira
A = integral0^infty x(t),y'(t),dt

Passo 3

Primeiro calculamos y’(t). Como y(t) = t x(t) = \dfrac{3 a t2}{1+t3}, temos
y'(t) = ddtl(3a t^21+t^3r) = 6a t (1+t^3) - 9a t^4(1+t^3)^2 = 3a t (2 - t^3)(1+t^3)^2

Passo 4

Agora montamos o integrando x(t)y’(t):
x(t)y'(t) = 3a t1+t^3 cdot 3a t (2 - t^3)(1+t^3)^2 = 9a^2,t^2,(2 - t^3)(1+t^3)^3
Logo
A = integral0^infty x(t)y'(t),dt = 9a^2 integral0^infty 2t^2 - t^5(1+t^3)^3,dt

Passo 5

Para avaliar I = ∫₀^∞ (2t² - t⁵)/(1+t³)³ dt, separamos em I = 2I₁ - I₂, onde
I1 = integral0^infty t^2(1+t^3)^3,dt,
I2 = integral0^infty t^5(1+t^3)^3,dt

Passo 6

No I₁ usamos a substituição u = t³ ⇒ du = 3t² dt ⇒ t² dt = du/3. Assim
I1 = integral0^infty t^2(1+t^3)^3,dt = integral0^infty 1(1+u)^3cdotdu3 = 13integral0^infty du(1+u)^3 = 13cdot12 = 16

Passo 7

No I₂ reescrevemos t⁵ = t³·t² = u·t², logo usando de novo t² dt = du/3:
I2 = integral0^infty u,t^2(1+u)^3,dt = 13integral0^infty u(1+u)^3,du
Chamando J = ∫₀^∞ u/(1+u)³ du, fazemos w = 1+u ⇒ u = w−1 e du = dw, obtendo
J = integral1^infty w-1w^3,dw = integral1^infty l(1w^2 - 1w^3r)dw = l[ -1w + 12w^2r]1^infty = 1 - 12 = 12
Assim
I2 = 13J = 13cdot12 = 16

Passo 8

Juntando tudo:
A = 9a^2l(2I1 - I2r) = 9a^2l(2cdot16 - 16r) = 9a^2cdot16 = 32a^2

Resposta

32a^2

Exercícios relacionados