1. Seja e_{n}=\left(x_{n}-\sqrt{a}\right) / \sqrt{a} o erro relativo na n-ésima etapa do cálculo de \sqrt{a}. Prove que e_{n+1}=e_{n}^{2} / 2\left(1+e_{n}\right). Conclua que e_{n} \leq 0,01 \Rightarrow e_{n+1} \leq 0,00005 \Rightarrow e_{n+2} \leq 0,00000000125 e observe a rapidez de convergência do método.

Passo 1

O enunciado trata do método de Newton para aproximar \sqrt{a}, em que a iteração é
x_{n+1} = \frac{x_n + \tfrac{a}{x_n}}{2}
e define o erro relativo
e_n = \frac{x_n - \sqrt{a}}{\sqrt{a}}.
Queremos obter uma fórmula que relacione e_{n+1} a e_n e depois estimar numericamente a rapidez de convergência.

Passo 2

Escrevemos
x_n = \sqrt{a}\,\bigl(1 + e_n\bigr).
Logo
\frac{a}{x_n} = \frac{a}{\sqrt{a}\,(1+e_n)} = \sqrt{a}\,\frac{1}{1+e_n}.

Passo 3

Substituindo em
x_{n+1} = \frac{x_n + \tfrac{a}{x_n}}{2}
vem
x_{n+1} = \frac{\sqrt{a}\,(1+e_n) + \sqrt{a}\,\tfrac{1}{1+e_n}}{2} = \sqrt{a}\,\frac{(1+e_n) + \tfrac{1}{1+e_n}}{2}.
No numerador
(1+e_n)+\frac{1}{1+e_n} = \frac{(1+e_n)^2 + 1}{1+e_n} = \frac{2(1+e_n) + e_n^2}{1+e_n},
portanto
x_{n+1} = \sqrt{a}\,\frac{2(1+e_n) + e_n^2}{2(1+e_n)} = \sqrt{a}\,\Bigl(1 + \frac{e_n^2}{2(1+e_n)}\Bigr).

Passo 4

Pelo fato de
x_{n+1} = \sqrt{a}\,\bigl(1 + e_{n+1}\bigr),
comparamos com o resultado e obtemos
e_{n+1} = \frac{e_n^2}{2(1+e_n)}.

Passo 5

Se 0 \le e_n \le 0,01, então
e_{n+1} = \frac{e_n^2}{2(1+e_n)} \le \frac{(0,01)^2}{2(1+0,01)} = \frac{0,0001}{2,02} < 0,00005.

Passo 6

Análogo para o passo seguinte: usando e_{n+1}\le0,00005,
e_{n+2} = \frac{e_{n+1}^2}{2(1+e_{n+1})} \le \frac{(0,00005)^2}{2(1+0,00005)} \approx \frac{2{,}5\times10^{-9}}{2{,}00005} < 1{,}25\times10^{-9}.

Passo 7

Isso mostra convergência quadrática: o erro praticamente se eleva ao quadrado a cada iteração, tornando-se muito pequeno em poucos passos.

Resposta

e_{n+1} = \frac{e_n^2}{2(1+e_n)}, \quad e_n \le 0,01 \;\Rightarrow\; e_{n+1} \le 0,00005, \quad e_{n+2} \le 0,00000000125.

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