- Seja
o erro relativo na
-ésima etapa do cálculo de
. Prove que
. Conclua que
e observe a rapidez de convergência do método.
Passo 1
O enunciado trata do método de Newton para aproximar
, em que a iteração é
e define o erro relativo
Queremos obter uma fórmula que relacione
a
e depois estimar numericamente a rapidez de convergência.
Passo 2
Escrevemos
Logo
Passo 3
Substituindo em
vem
No numerador
portanto
Passo 4
Pelo fato de
comparamos com o resultado e obtemos
Passo 5
Se
, então
Passo 6
Análogo para o passo seguinte: usando
,
Passo 7
Isso mostra convergência quadrática: o erro praticamente se eleva ao quadrado a cada iteração, tornando-se muito pequeno em poucos passos.