- Dado
, defina indutivamente a seqüência
, pondo
e
. Mostre que
, onde
é como no exercício anterior.
Passo 1
O enunciado define a sequência de números reais
por
com
, e pede que mostremos
onde
é o mesmo da questão anterior.
Para resolver, vamos interpretar a aplicação
Para resolver, vamos interpretar a aplicação
e usar o fato de que a sequência tende a um ponto fixo de
. Também vamos explorar a monotonicidade e o fato de que
permanece positiva e confinada num intervalo.
Passo 2
Primeiro, notemos por indução que
para todo
. De fato,
e se
então
Portanto todos os termos são positivos e, em particular,
está bem definida em cada
.
Passo 3
Os pontos fixos de
satisfazem
As raízes são
Como
e
, o único fixo relevante é
Passo 4
Mostremos agora que
é decrescente e
é crescente, ambos confinados a um intervalo que contém
.
-
, então . - Suponha
. Então, aplicando , que é estritamente decrescente em , obtemos
logo
.
3. De modo análogo, da desigualdade segue
3. De modo análogo, da desigualdade
isto é,
.
Portanto, é decrescente e
é crescente. Além disso, como sempre vale
, cada subsequência está confinada em
, um intervalo compacto de
.
Portanto,
Passo 5
Por serem monotônicas e limitadas,
e
convergem a limites
e
, respectivamente. Como
temos
. Analogamente
. Combinando, deduz-se
pois
tem o mesmo ponto fixo de
. Logo ambos os limites satisfazem
, e portanto
Passo 6
Definindo
vemos que
satisfaz
exatamente como no exercício anterior. Daí
Resposta
onde
é a raiz positiva da equação
, isto é