Represente a função f(x)=e^raizx por uma série de potências de x.

Passo 1

Queremos achar a expansão em série de potências de x (mesmo que haja expoentes fracionários) da função
f(x)=e^raizx
Para isso, vamos usar a série de Taylor-Maclaurin da exponencial.

Passo 2

Lembrando que para toda variável u vale
e^u=sumn=0^inftyu^nn!
Basta agora fazer a substituição u=raizx.

Passo 3

Substituindo u=raizx na série acima, obtemos
e^raizx =sumn=0^inftyl(raizxr)^nn! =sumn=0^inftyx^n/2n!

Passo 4

Se quisermos separar os termos com potências inteiras de x e os com potência fracionária x^k+1/2, notamos que:
  • Para n=2k (índices pares), temos l(raizxr)^2k=x^k.
  • Para n=2k+1 (índices ímpares), temos l(raizxr)^2k+1=x^k+tfrac12.
Portanto a série fica
e^raizx =sumk=0^inftyx^k(2k)! ;+; sumk=0^inftyx^k+tfrac12(2k+1)!

Resposta

boxede^raizx =sumn=0^inftyx^n/2n! =sumk=0^inftyx^k(2k)! +sumk=0^inftyx^k+tfrac12(2k+1)!

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