2 - É dado lim x a f(x)=L. Determinar um número de<a para o varepsilon dado tal que |f(x)-L|<varepsilon sempre que 0<|x-a|<de<a.
lim x 5 x^2=25, varepsilon=0,5

Passo 1

O enunciado nos dá
limxto5x^2=25
e pede que, para varepsilon=0,5, encontremos um de<a>0 tal que
|x^2-25|<varepsilon
sempre que 0<|x-5|<de<a.

Passo 2

Observe que
|x^2-25| = |x-5|,|x+5|
Para controlar esse produto, precisamos encontrar um limite superior para |x+5| num pequeno intervalo ao redor de x=5.

Passo 3

Escolhemos exigir também
|x-5|<1,
o que implica 4<x<6 e, consequentemente,
|x+5|<6+5=11
Assim, sempre que |x-5|<1 vale
|x^2-25|;=;|x-5|,|x+5|;<=;11,|x-5|

Passo 4

Queremos que 11,|x-5|<0,5, isto é,
|x-5|<0,511
Portanto, bastará escolher
de<a = minl1,0,511r
para garantir simultaneamente |x-5|<1 e 11|x-5|<0,5.

Resposta

de<a = minl1,0,511r = 0,511approx0,04545

Exercícios relacionados