Classifique as superficies quadráticas e esboce seus gráficos:
Passo 1
O enunciado pede para classificar e esboçar a superfície dada por
O tema aqui é superfícies quadráticas. Para resolver, vamos reescrever a equação em forma canônica, analisar a forma quadrática associada e examinar seções transversais.
Passo 2
Reescrevendo em forma padrão temos
Isso é uma forma quadrática homogênea de grau 2 sem termos lineares nem constantes. A matriz diagonal associada é
, que tem um autovalor positivo e dois negativos, e determinante zero — sinal típico de um cone duplo degenerado.
Passo 3
Para entender o formato, examinamos os traços:
Se fixamos , a equação fica
Se fixamos
- Se
, obtemos um círculo de raio no plano paralelo a . - Se
, sobra , ou seja, apenas o ponto .
Assim aparecem duas “nappes” (folhas), uma parae outra para .
Passo 4
Não há termo constante ou linear, então a superfície passa pelo vértice na origem e se abre linearmente. A forma dos traços circulares confirma que é um cone circular reto de duas nappes, com eixo de simetria ao longo do eixo
.
Passo 5
No esboço, imagine dois cones circulares retos com vértice em
: um estendendo-se para
e outro para
, abrindo com ângulo de
em relação ao eixo
.
Resposta
Superfície quadrática do tipo cone circular duplo (duas nappes) com vértice na origem e eixo de simetria no eixo
.