Classifique as superficies quadráticas e esboce seus gráficos:
y^2=x^2+z^2

Passo 1

O enunciado pede para classificar e esboçar a superfície dada por
y^2 = x^2 + z^2
O tema aqui é superfícies quadráticas. Para resolver, vamos reescrever a equação em forma canônica, analisar a forma quadrática associada e examinar seções transversais.

Passo 2

Reescrevendo em forma padrão temos
y^2 - x^2 - z^2 = 0
Isso é uma forma quadrática homogênea de grau 2 sem termos lineares nem constantes. A matriz diagonal associada é diag(1,-1,-1), que tem um autovalor positivo e dois negativos, e determinante zero — sinal típico de um cone duplo degenerado.

Passo 3

Para entender o formato, examinamos os traços:
Se fixamos y = y0, a equação fica
x^2 + z^2 = y0^2
  • Se y0neq 0, obtemos um círculo de raio lvert y0rvert no plano paralelo a xz.
  • Se y0=0, sobra x^2+z^2=0, ou seja, apenas o ponto (0,0,0).
    Assim aparecem duas “nappes” (folhas), uma para y>0 e outra para y<0.

Passo 4

Não há termo constante ou linear, então a superfície passa pelo vértice na origem e se abre linearmente. A forma dos traços circulares confirma que é um cone circular reto de duas nappes, com eixo de simetria ao longo do eixo y.

Passo 5

No esboço, imagine dois cones circulares retos com vértice em (0,0,0): um estendendo-se para y>0 e outro para y<0, abrindo com ângulo de 45^circ em relação ao eixo y.

Resposta

Superfície quadrática do tipo cone circular duplo (duas nappes) com vértice na origem e eixo de simetria no eixo y.

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