Um dado equilibrado é lançado 2 vezes. Descreva o espaço amostral e use a definição clássica para calcular as probabilidades dos seguintes eventos:
(a) a soma dos pontos é par;
(b) a soma é ímpar;
(c) o primeiro lançamento é menor que o segundo;
(d) a soma é igual a 7;
(e) a soma é diferente de dois;
(f) a soma <= 4 ou a soma >2;
(g) o primeiro lançamento menor que o segundo lançamento e a soma par;
(h) a soma é ímpar e igual resultado em ambos os lançamentos.

Passo 1

O enunciado diz que lançamos um dado equilibrado duas vezes e precisamos usar a definição clássica de probabilidade, isto é,
P(E)=|E||Omega|,
onde Omega é o espaço amostral. Vamos então descrever Omega e, para cada evento, contar quantos resultados lhe pertencem.

Passo 2

O espaço amostral é o conjunto de todos os pares ordenados dos resultados dos lançamentos:
Omega = (i,j)mid iin1,dots,6,,jin1,dots,6,
logo
|Omega|=6times6=36

Passo 3

(a) Soma par. Uma soma é par se i e j têm mesma paridade. Há 3 valores ímpares e 3 pares em 1,dots,6, então
underbrace3times3substackambos ímpares + underbrace3times3substackambos pares =18 í
resultados.
P(soma par)=1836=12
(b) Soma ímpar. É o complementar dentro de Omega, também com 18 resultados, pois 36-18=18.
P(soma ímpar)=1836=12 í

Passo 4

(c) Primeiro lançamento menor que o segundo. São todos os pares (i,j) com i<j. Dos 36 pares, há 30 com ineq j e exatamente metade satisfaz i<j, ou seja 15.
P(i<j)=1536=512

Passo 5

(d) Soma igual a 7. Os pares que somam 7 são
(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1), total 6.
P(soma=7)=636=16

Passo 6

(e) Soma diferente de 2. Soma 2 só ocorre em (1,1) ( 1 caso). Logo os demais são 35.
P(somaneq2)=3536

Passo 7

(f) Soma <=4 ou soma >2. Soma <=4 produce resultados com soma em 2,3,4 (total 1+2+3=6 casos) e soma >2 cobre soma em 3,dots,12 ( 30 casos). A união desses dois eventos é todo Omega, pois qualquer soma em 2,dots,12 está em pelo menos um deles.
P(soma<=4cupsoma>2)=3636=1

Passo 8

(g) Primeiro lançamento menor que o segundo e soma par. Já vimos que i<j tem 15 casos; entre esses, a soma é par quando i e j têm mesma paridade. Nas 3 opções de pares ímpares escolhemos 2 em ordem ( 1<3,1<5,3<5) dá 3, e idem para pares até 6 ( 2<4,2<6,4<6) dá 3; total =6.
P(i<j e soma par)=636=16

Passo 9

(h) Soma ímpar e resultados iguais. Resultados iguais são (i,i); a soma é 2i, que nunca é ímpar para iin1,dots,6. Logo não há casos.
P(soma ímpar e i=j)=0 í

Resposta

(a) tfrac12
(b) tfrac12
(c) tfrac512
(d) tfrac16
(e) tfrac3536
(f) 1
(g) tfrac16
(h) 0

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