Questão . Seja uma variável aleatória com a seguinte distribuição de Bernoulli:
0 1
0,55 0,45
a) Determine quantas e quais são todas as possíveis amostras aleatórias de tamanho três ( ) obtidas da população X e as suas respectivas probabilidades.
b) Obtenha as distribuições amostrais da soma ( ) e da média ( ) dessas amostras.
c) Calcule o valor esperado e a variância de e e relacione os resultados com a distribuição de X.
d) Obtenha uma estimativa da média populacional e uma estimativa da variância populacional.

Passo 1

O enunciado diz que é bernoulli com
e que vamos retirar amostras de tamanho com reposição (independentes). Precisamos:
– (a) listar todas as amostras de tamanho e suas probabilidades;
– (b) encontrar a distribuição da soma e da média ;
– (c) calcular , , , e relacionar com e ;
– (d) dar estimadores para a média e variância populacionais.

Passo 2

Para (a) listamos cada vetor (X1,X2,X3) e calculamos
P(X1=x1,X2=x2,X3=x3) = prodi=1^3 P(Xi=xi)
As oito possibilidades são:
;(0,0,0):;P=0,55^3=0,166375
;(0,0,1):;P=0,55^2 cdot 0,45=0,136125
;(0,1,0):;P=0,55^2 cdot 0,45=0,136125
;(1,0,0):;P=0,55^2 cdot 0,45=0,136125
;(0,1,1):;P=0,55 cdot 0,45^2=0,111375
;(1,0,1):;P=0,55 cdot 0,45^2=0,111375
;(1,1,0):;P=0,55 cdot 0,45^2=0,111375
;(1,1,1):;P=0,45^3=0,091125

Passo 3

Para (b) note que X+ pode ser 0,1,2,3. Como é soma de bernoulli i.i.d.,
P(X+=k) = binom3k (0,45)^k (0,55)^3-k
Logo
;P(X+=0)=0,166375
;P(X+=1)=3 cdot 0,55^2 cdot 0,45=0,408375
;P(X+=2)=3 cdot 0,55 cdot 0,45^2=0,334125
;P(X+=3)=0,091125
A média amostral barX = X+/3 toma valores 0, tfrac13, tfrac23, 1 com as mesmas probabilidades de X+=0,1,2,3.

Passo 4

Para (c) usamos propriedades da binomial:
Daí
Como e , confirmamos

Passo 5

Para (d), um estimador natural de é a própria e um estimador plug-in de é
Em média e .

Resposta

(a) As amostras e seus estão listadas no Passo .
(b)

(c)

e verifica-se , .
(d)

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