Questão
. Seja
uma variável aleatória com a seguinte distribuição de Bernoulli:
0
1
0,55
0,45
a) Determine quantas e quais são todas as possíveis amostras aleatórias de tamanho três (
) obtidas da população X e as suas respectivas probabilidades.
b) Obtenha as distribuições amostrais da soma (
) e da média (
) dessas amostras.
c) Calcule o valor esperado e a variância de
e
e relacione os resultados com a distribuição de X.
d) Obtenha uma estimativa da média populacional e uma estimativa da variância populacional.
|
0 | 1 |
|
0,55 | 0,45 |
b) Obtenha as distribuições amostrais da soma (
c) Calcule o valor esperado e a variância de
d) Obtenha uma estimativa da média populacional e uma estimativa da variância populacional.
Passo 1
O enunciado diz que
é bernoulli com
e que vamos retirar amostras de tamanho
com reposição (independentes). Precisamos:
– (a) listar todas as amostras de tamanho
e suas probabilidades;
– (b) encontrar a distribuição da soma e da média
;
– (c) calcular , ,
, e relacionar com
e ;
– (d) dar estimadores para a média e variância populacionais.
– (a) listar todas as
– (b) encontrar a distribuição da soma
– (c) calcular
– (d) dar estimadores para a média e variância populacionais.
Passo 2
Para (a) listamos cada vetor
e calculamos
As oito possibilidades são:
Passo 3
Para (b) note que
pode ser
. Como é soma de bernoulli i.i.d.,
Logo
A média amostral
toma valores
com as mesmas probabilidades de
.
Passo 4
Para (c) usamos propriedades da binomial:
Daí
Como
e , confirmamos
Passo 5
Para (d), um estimador natural de
é a própria
e um estimador plug-in de é
Em média
e
.
Resposta
(a) As
amostras e seus
estão listadas no Passo
.
(b)
(c)
e verifica-se , .
(d)
(b)
(c)
e verifica-se
(d)