Determine a tensão de cisalhamento máxima para o problema abaixo. \underset{\sim}{\tau}=\left[\begin{array}{ccc}15 & 0 & 0 \\\\ 0 & -20 & 0 \\\\ 0 & 0 & 30\end{array}\right]_{x y z} plano: z+a x=b com a qualquer (ou seja, qualquer plano paralelo ao eixo y ).
Passo 1
O enunciado pede para determinar a tensão de cisalhamento máxima atuando em qualquer plano da família dado por z + a x = b, onde a é um parâmetro qualquer (ou seja, todos os planos paralelos ao eixo y). As informações fornecidas são:
A partir da equação do plano z+ax=b extraímos que um vetor normal (não necessariamente unitário) ao plano é
\mathbf{n} = (a,\,0,\,1).
Não resolvemos nada ainda; só listei o que é pedido e as informações úteis.]
Passo 2
Vou explicar a ideia física/matemática que vamos usar: para um dado plano com vetor normal unitário \mathbf{n}_u a tração (vetor tensão) \mathbf{t} nesse plano é
A componente normal da tensão é o escalar \sigma_n=\mathbf{n}_u\cdot\mathbf{t} (projeção da tração sobre a normal) e a componente tangencial (cisalhante) tem magnitude
\tau = \sqrt{\|\mathbf{t}\|^2 - \sigma_n^2},
pois a tração se decompõe ortogonalmente em normal + tangencial. Vou aplicar essas fórmulas ao nosso caso. Primeiro determinamos a normal unitária \mathbf{n}_u.
O vetor normal dado é \mathbf{n}=(a,0,1). A norma dele é
\|\mathbf{n}\|=\sqrt{a^2+1},
logo o vetor normal unitário é
\mathbf{n}_u=\frac{1}{\sqrt{a^2+1}}\,(a,\,0,\,1).
Passo 3
Agora calculo a tração \mathbf{t}=\underset{\sim}{\tau}\cdot\mathbf{n}_u. Usando a matriz diagonal da tensão:
(Usei |a| porque \tau é magnitude e é sempre não-negativa.)
Passo 6
Agora preciso encontrar o máximo de \tau(a)=\dfrac{15|a|}{a^2+1} quando a varia em \mathbb{R}. A função é par (simétrica), então basta analisar a\ge 0 com
A condição g'(a)=0 dá 1-a^2=0\Rightarrow a=1. Verifico que é máximo porque para 0\le a<1 temos g'>0 e para a>1 temos g'<0; também g(0)=0 e \lim_{a\to\infty}g(a)=0. Assim o máximo ocorre em a=1.
Interpretação e checagens rápidas (para te deixar confiante): o valor máximo de \tau entre todos os planos da família ocorre quando a=1, ou seja, quando o vetor normal é (1,0,1) (plano com inclinação de 45^\circ no plano xz). Como checagem, se a=0 (plano z=b), então \tau=0 — faz sentido porque nesse caso a tração é puramente normal. Observação adicional útil: o máximo de cisalhamento global (permitido por qualquer orientação espacial) seria \tfrac{1}{2}(\sigma_{\max}-\sigma_{\min})=\tfrac{1}{2}(30-(-20))=25, que é maior porque ali permitimos quaisquer planos; aqui estávamos restringidos a planos paralelos a y, por isso o máximo encontrado é menor.