Determine a tensão de cisalhamento máxima para o problema abaixo.
\underset{\sim}{\tau}=\left[\begin{array}{ccc}15 & 0 & 0 \\\\ 0 & -20 & 0 \\\\ 0 & 0 & 30\end{array}\right]_{x y z} plano: z+a x=b com a qualquer (ou seja, qualquer plano paralelo ao eixo y ).

Passo 1

O enunciado pede para determinar a tensão de cisalhamento máxima atuando em qualquer plano da família dado por z + a x = b, onde a é um parâmetro qualquer (ou seja, todos os planos paralelos ao eixo y). As informações fornecidas são:
\underset{\sim}{\tau}=\begin{pmatrix}15 & 0 & 0 \\[4pt] 0 & -20 & 0 \\[4pt] 0 & 0 & 30\end{pmatrix}_{xyz}.
A partir da equação do plano z+ax=b extraímos que um vetor normal (não necessariamente unitário) ao plano é
\mathbf{n} = (a,\,0,\,1).
Não resolvemos nada ainda; só listei o que é pedido e as informações úteis.]

Passo 2

Vou explicar a ideia física/matemática que vamos usar: para um dado plano com vetor normal unitário \mathbf{n}_u a tração (vetor tensão) \mathbf{t} nesse plano é
\mathbf{t} = \underset{\sim}{\tau}\cdot\mathbf{n}_u.
A componente normal da tensão é o escalar \sigma_n=\mathbf{n}_u\cdot\mathbf{t} (projeção da tração sobre a normal) e a componente tangencial (cisalhante) tem magnitude
\tau = \sqrt{\|\mathbf{t}\|^2 - \sigma_n^2},
pois a tração se decompõe ortogonalmente em normal + tangencial. Vou aplicar essas fórmulas ao nosso caso. Primeiro determinamos a normal unitária \mathbf{n}_u.
O vetor normal dado é \mathbf{n}=(a,0,1). A norma dele é
\|\mathbf{n}\|=\sqrt{a^2+1},
logo o vetor normal unitário é
\mathbf{n}_u=\frac{1}{\sqrt{a^2+1}}\,(a,\,0,\,1).

Passo 3

Agora calculo a tração \mathbf{t}=\underset{\sim}{\tau}\cdot\mathbf{n}_u. Usando a matriz diagonal da tensão:
\underset{\sim}{\tau}\cdot\mathbf{n}_u = \frac{1}{\sqrt{a^2+1}} \begin{pmatrix}15 & 0 & 0 \\[4pt] 0 & -20 & 0 \\[4pt] 0 & 0 & 30\end{pmatrix} \begin{pmatrix}a\\[4pt] 0\\[4pt] 1\end{pmatrix} = \frac{1}{\sqrt{a^2+1}} \begin{pmatrix}15a\\[4pt] 0\\[4pt] 30\end{pmatrix}.
Portanto
\mathbf{t}=\frac{1}{\sqrt{a^2+1}}\,(15a,\,0,\,30).]

Passo 4

Calculo a tensão normal \sigma_n=\mathbf{n}_u\cdot\mathbf{t}. Isso é a projeção da tração sobre a normal:
\sigma_n = \mathbf{n}_u\cdot\mathbf{t} = \frac{1}{a^2+1}\,(a,0,1)\cdot(15a,0,30).
Fazendo o produto escalar:
\sigma_n = \frac{1}{a^2+1}\,(15a^2 + 30).
Portanto
\sigma_n=\frac{15a^2+30}{a^2+1}.

Passo 5

Agora calculo \|\mathbf{t}\|^2 e uso a fórmula da componente cisalhante:
Primeiro,
\|\mathbf{t}\|^2 = \frac{1}{a^2+1}\,\big( (15a)^2 + 0^2 + 30^2\big) = \frac{225a^2 + 900}{a^2+1}.
\sigma_n^2 é
\sigma_n^2 = \frac{(15a^2+30)^2}{(a^2+1)^2}.
Então a tensão de cisalhamento ao longo do plano (magnitude) é
\tau^2 = \|\mathbf{t}\|^2 - \sigma_n^2 = \frac{225a^2 + 900}{a^2+1} - \frac{(15a^2+30)^2}{(a^2+1)^2}.
Para simplificar, coloco sobre denominador comum (a^2+1)^2:
\tau^2 = \frac{(225a^2+900)(a^2+1) - (15a^2+30)^2}{(a^2+1)^2}.
Agora expando e simplifico cuidadosamente:
(225a^2+900)(a^2+1)=225a^4+1125a^2+900,
(15a^2+30)^2=225(a^2+2)^2=225a^4+900a^2+900.
Subtraindo esses termos o que sobra no numerador é
225a^4+1125a^2+900 - (225a^4+900a^2+900) = 225a^2.
Logo
\tau^2 = \frac{225a^2}{(a^2+1)^2}, \quad\text{e portanto}\quad \tau = \frac{15|a|}{a^2+1}.
(Usei |a| porque \tau é magnitude e é sempre não-negativa.)

Passo 6

Agora preciso encontrar o máximo de \tau(a)=\dfrac{15|a|}{a^2+1} quando a varia em \mathbb{R}. A função é par (simétrica), então basta analisar a\ge 0 com
g(a)=\frac{15a}{a^2+1},\qquad a\ge 0.
Derivando (quociente) e igualando a zero:
g'(a)=15\cdot\frac{(a^2+1)-2a^2}{(a^2+1)^2} =15\cdot\frac{1-a^2}{(a^2+1)^2}.
A condição g'(a)=0 1-a^2=0\Rightarrow a=1. Verifico que é máximo porque para 0\le a<1 temos g'>0 e para a>1 temos g'<0; também g(0)=0 e \lim_{a\to\infty}g(a)=0. Assim o máximo ocorre em a=1.
Substituindo a=1 na expressão de \tau:
\tau_{\max}=\frac{15\cdot 1}{1^2+1}=\frac{15}{2}=7{,}5.

Passo 7

Interpretação e checagens rápidas (para te deixar confiante): o valor máximo de \tau entre todos os planos da família ocorre quando a=1, ou seja, quando o vetor normal é (1,0,1) (plano com inclinação de 45^\circ no plano xz). Como checagem, se a=0 (plano z=b), então \tau=0 — faz sentido porque nesse caso a tração é puramente normal. Observação adicional útil: o máximo de cisalhamento global (permitido por qualquer orientação espacial) seria \tfrac{1}{2}(\sigma_{\max}-\sigma_{\min})=\tfrac{1}{2}(30-(-20))=25, que é maior porque ali permitimos quaisquer planos; aqui estávamos restringidos a planos paralelos a y, por isso o máximo encontrado é menor.

Resposta

\tau_{\max}=\dfrac{15}{2}=7{,}5

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