Dado
,
(a) Calcule
e
(b) Prove que
para algum número real
tal que
.
(c) Descreva um método para obter, com três algarismos significativos, o valor de
do item anterior.
(a) Calcule
(b) Prove que
(c) Descreva um método para obter, com três algarismos significativos, o valor de
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede:
(a) avaliar em
e
;
(b) mostrar que existe tal que
;
(c) descrever um método numérico para aproximar essa raiz com três algarismos significativos.
Vamos usar álgebra básica para (a), o Teorema de Bolzano (ou Valor Intermediário) para (b) e o método da bissecção para (c).
(a) avaliar
(b) mostrar que existe
(c) descrever um método numérico para aproximar essa raiz com três algarismos significativos.
Vamos usar álgebra básica para (a), o Teorema de Bolzano (ou Valor Intermediário) para (b) e o método da bissecção para (c).
Passo 2
Calculamos diretamente:
Passo 3
Como
e
, os valores de
em
e
têm sinal oposto. Pelo Teorema de Bolzano,
contínua em
implica que existe pelo menos um
tal que
Passo 4
Uma forma simples de aproximar essa raiz com três algarismos significativos é o método da bissecção:
– Escolha e
.
– Para cada , calcule
e avalie
.
– Se , então a raiz está em
, defina
,
; caso contrário, defina
,
.
– Pare quando o intervalo estiver pequeno o suficiente para garantir três algarismos significativos. Como a raiz é da ordem de
, basta tomar critério
– Escolha
– Para cada
– Se
– Pare quando o intervalo
pois isso assegura erro absoluto
, garantindo as três primeiras cifras estáveis. O valor
então é a aproximação desejada.
Resposta
(a)
,
(b) Como e
têm sinais opostos, pelo Teorema de Bolzano existe
tal que
.
(c) Use o método da bissecção em , repetindo até que
; o ponto médio final é a raiz com três algarismos significativos.
(b) Como
(c) Use o método da bissecção em