Dado f(x)=2 x^3-3 x^2+7 x-10,
(a) Calcule f(1) e f(2)
(b) Prove que f(x)=0 para algum número real x tal que 1<x<2.
(c) Descreva um método para obter, com três algarismos significativos, o valor de x do item anterior.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=2x^3-3x^2+7x-10
e pede:
(a) avaliar f em x=1 e x=2;
(b) mostrar que existe xin(1,2) tal que f(x)=0;
(c) descrever um método numérico para aproximar essa raiz com três algarismos significativos.
Vamos usar álgebra básica para (a), o Teorema de Bolzano (ou Valor Intermediário) para (b) e o método da bissecção para (c).

Passo 2

Calculamos diretamente:
f(1)=2cdot1^3-3cdot1^2+7cdot1-10=2-3+7-10=-4,
f(2)=2cdot2^3-3cdot2^2+7cdot2-10=16-12+14-10=8

Passo 3

Como f(1)=-4<0 e f(2)=8>0, os valores de f em 1 e 2 têm sinal oposto. Pelo Teorema de Bolzano, f contínua em [1,2] implica que existe pelo menos um cin(1,2) tal que
f(c)=0

Passo 4

Uma forma simples de aproximar essa raiz com três algarismos significativos é o método da bissecção:
– Escolha a1=1 e b1=2.
– Para cada n, calcule cn=(an+bn)/2 e avalie f(cn).
– Se f(an),f(cn)<0, então a raiz está em [an,cn], defina an+1=an, bn+1=cn; caso contrário, defina an+1=cn, bn+1=bn.
– Pare quando o intervalo [an,bn] estiver pequeno o suficiente para garantir três algarismos significativos. Como a raiz é da ordem de 1, basta tomar critério
|bn-an|<=5times10^-4,
pois isso assegura erro absoluto <=0,0005, garantindo as três primeiras cifras estáveis. O valor cn então é a aproximação desejada.

Resposta

(a) f(1)=-4, f(2)=8
(b) Como f(1) e f(2) têm sinais opostos, pelo Teorema de Bolzano existe xin(1,2) tal que f(x)=0.
(c) Use o método da bissecção em [1,2], repetindo até que |b-a|<=5times10^-4; o ponto médio final é a raiz com três algarismos significativos.

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