Admitindo as operações possíveis e considerando lambda constante, prove as seguintes regras de derivação:
(b) nabla(f g)=g nabla f+f nabla g

Passo 1

O enunciado pede para provar a regra do produto para o gradiente, ou seja, para duas funções escalares diferenciáveis f,g:R^ntoR de classe C^1 devemos mostrar que
nabla(fg)=g,nabla f+f,nabla g
Para isso, vamos usar a definição de gradiente em termos de derivadas parciais e a regra do produto em cada coordenada.

Passo 2

Definindo h(x)=f(x),g(x), pela definição de gradiente temos
nabla h(x) =l(partial hpartial x1(x),partial hpartial x2(x),dots,partial hpartial xn(x)r)
Logo, basta calcular cada tfracpartial hpartial xi.

Passo 3

Para cada i=1,dots,n, aplicamos a regra do produto em uma única variável xi, lembrando que tanto f quanto g dependem de xi. Assim,
partialpartial xil(f,gr) = f,partial gpartial xi+g,partial fpartial xi

Passo 4

Agrupando essas componentes na forma de vetor, obtemos
nabla(fg) =l(f,partialig+g,partialifr)i=1^n = g,l(partialifr)i=1^n+f,l(partialigr)i=1^n = g,nabla f+f,nabla g

Resposta

nabla(fg)=g,nabla f+f,nabla g

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