Admitindo as operações possíveis e considerando
constante, prove as seguintes regras de derivação:
(b)
(b)
Passo 1
O enunciado pede para provar a regra do produto para o gradiente, ou seja, para duas funções escalares diferenciáveis
de classe
devemos mostrar que
Para isso, vamos usar a definição de gradiente em termos de derivadas parciais e a regra do produto em cada coordenada.
Passo 2
Definindo
, pela definição de gradiente temos
Logo, basta calcular cada
.
Passo 3
Para cada
, aplicamos a regra do produto em uma única variável
, lembrando que tanto
quanto
dependem de
. Assim,
Passo 4
Agrupando essas componentes na forma de vetor, obtemos