Inverta a ordem de integração
integral0^pi4[integralSen x^CoS x f(x, y) d y] d x.

Passo 1

O enunciado pede para inverter a ordem de integração da integral
integral0^pi4gl[integralsin x^cos xf(x,y),dygr]dx
O conteúdo aqui é geometria de regiões no plano e troca dos limites usando as curvas y=sin x e y=cos x.

Passo 2

Desenhamos a região
R=(x,y)mid 0<= x<=tfracpi4,;sin x<= y<=cos x
As curvas se intersectam em x=tfracpi4, y=sin(tfracpi4)=cos(tfracpi4)=tfracraiz22. Para x=0, temos y variando de 0 a 1. Logo a região em y vai de 0 até 1.

Passo 3

Para inverter, fixamos y e achamos o intervalo de x em que sin x<= y<=cos x. Note que:
  • Se 0<= y<=tfracraiz22, então cos x>=tfracraiz22>= y para todo xin[0,tfracpi4], logo a única restrição é sin x<= y, que equivale a x>=arcsin y. Assim xin[arcsin y,tfracpi4].
  • Se tfracraiz22<= y<=1, então sin x<=tfracraiz22<= y para todo xin[0,tfracpi4], logo a única restrição é y<=cos x, que equivale a x<=arccos y. Assim xin[0,arccos y].

Passo 4

Portanto a integral original fica a soma de duas integrais em y:
integral0^raiz22 gl[integralarcsin y^pi4f(x,y),dxgr]dy ;+; integralraiz22^1 gl[integral0^arccos yf(x,y),dxgr]dy

Resposta

integral0^pi4 gl[integralsin x^cos xf(x,y),dygr]dx = integral0^raiz22 gl[integralarcsin y^pi4f(x,y),dxgr]dy ;+; integralraiz22^1 gl[integral0^arccos yf(x,y),dxgr]dy

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