Para as questões a seguir, calcule o volume do sólido de revolução gerado pela rotação da região R em torno do eixo especificado. Em sua resolução, esboce graficamente a região
e o de método a ser empregado no cálculo.
A região R é delimitada por
,
e
. Considere a revolução dessa região em torno do eixo y.
A região R é delimitada por
Passo 1
Ok, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume de um sólido de revolução formado quando giramos a região
ao redor do eixo
. A região
é limitada pelas curvas
,
,
e
. Para isso, vamos usar o método das cascas cilíndricas, que é muito útil quando a rotação é em torno do eixo
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor a região
. A curva
é uma função que cresce conforme
aumenta. As linhas verticais
e
delimitam a região horizontalmente, e a linha horizontal
limita a região na parte superior. Se a gente desenhar isso, a região
fica entre
e
, debaixo de
e acima da curva
.
Passo 3
Agora, vamos escolher o método das cascas cilíndricas para calcular o volume. Esse método é indicado quando a revolução é em torno de um eixo vertical, como o eixo
, e facilita o cálculo usando a integração em relação a
. A ideia é imaginar a região
como sendo formada por várias cascas cilíndricas infinitesimais.
Passo 4
Vamos montar a expressão para o volume usando o método das cascas. A fórmula geral desse método é:
Onde:
-
é a distância da casca ao eixo de rotação ( -eixo). -
é a altura da casca, que neste caso é a diferença entre e .
Então, substituindo na fórmula:
E os limites de integração são de
a
.
Passo 5
Agora, vamos calcular a integral:
Vamos distribuir o
:
Integrando termo a termo:
Então:
Calculando nos limites:
Para
:
Para
:
Subtraindo:
Multiplicando por
:
Como volume não pode ser negativo, pegamos o valor absoluto:
Resposta
O volume do sólido de revolução é aproximadamente
unidades cúbicas.