Para as questões a seguir, calcule o volume do sólido de revolução gerado pela rotação da região R em torno do eixo especificado. Em sua resolução, esboce graficamente a região R e o de método a ser empregado no cálculo.
A região R é delimitada por y=x^3 / 2, y=1, x=1 e x=3. Considere a revolução dessa região em torno do eixo y.

Passo 1

Ok, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume de um sólido de revolução formado quando giramos a região ao redor do eixo . A região é limitada pelas curvas , , e . Para isso, vamos usar o método das cascas cilíndricas, que é muito útil quando a rotação é em torno do eixo .

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor a região . A curva é uma função que cresce conforme aumenta. As linhas verticais e delimitam a região horizontalmente, e a linha horizontal limita a região na parte superior. Se a gente desenhar isso, a região fica entre e , debaixo de e acima da curva .

Passo 3

Agora, vamos escolher o método das cascas cilíndricas para calcular o volume. Esse método é indicado quando a revolução é em torno de um eixo vertical, como o eixo , e facilita o cálculo usando a integração em relação a . A ideia é imaginar a região como sendo formada por várias cascas cilíndricas infinitesimais.

Passo 4

Vamos montar a expressão para o volume usando o método das cascas. A fórmula geral desse método é:
V = 2pi integrala^b x cdot h(x) , dx
Onde:
  • h(x) = 1 - x^3/2 é a distância da casca ao eixo de rotação ( -eixo).
  • é a altura da casca, que neste caso é a diferença entre e .
Então, substituindo na fórmula:
E os limites de integração são de a .

Passo 5

Agora, vamos calcular a integral:
V = 2pi integral1^3 x (1 - x^3/2) , dx
Vamos distribuir o V = 2pi integral1^3 (x - x^5/2) , dx :
integral x , dx = x^22
Integrando termo a termo:
integral x^5/2 , dx = 27 x^7/2
V = 2pi [ x^22 - 27 x^7/2 ]1^3
Então:
3^22 - 27 cdot 3^7/2 = 92 - 27 cdot 3^3.5 approx 92 - 27 cdot 46.765 = 4.5 - 13.433 approx -8.933
Calculando nos limites:
Para 1^22 - 27 cdot 1^7/2 = 12 - 27 = 0.5 - 0.2857 approx 0.2143 :
-8.933 - 0.2143 = -9.1473
Para V approx 2pi cdot (-9.1473) approx -18.2946pi :
V approx 18.2946pi , unidades cúbicas
Subtraindo:
Multiplicando por :
Como volume não pode ser negativo, pegamos o valor absoluto:
ú

Resposta

O volume do sólido de revolução é aproximadamente unidades cúbicas.

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