Dado que
, use a aproximação linear para estimar
.
Passo 1
O enunciado dá a informação
e pede para usar a aproximação linear para estimar
.
Interpretação das notações (importante): as vírgulas no enunciado são separadores decimais (estilo português). Assim
- o ponto em que conhecemos a derivada parcial é
(ou seja ); - o ponto em que queremos estimar a função é
, que interpretarei como o ponto no sentido decimal — isto é, e .
O que é pedido: estimar
a partir de informação local em
.
Passo 2
Lembrete (fórmula da aproximação linear / diferencial total). Para uma função de duas variáveis
suavemente diferenciável perto de um ponto
, a aproximação linear (linearização) em torno de
diz:
Aqui:
-
é a derivada parcial de em relação a no ponto ; -
é a derivada parcial de em relação a no ponto ; -
é a variação de (valor novo menos ); -
é a variação de (valor novo menos ).
Explicação simples: a fórmula diz que, para mudanças pequenas em
e
, a variação de
é aproximadamente a soma das contribuições lineares das variações em
e em
.
Passo 3
Calcular as variações
e
entre o ponto base
e o ponto alvo
, isto é
:
Passo 4
Aplicar a fórmula da linearização em
:
Já nos foi dado
. Substituindo:
Simplificando o último termo:
portanto
Passo 5
Comentário sobre a falta de
: o enunciado só fornece
. Assim a expressão exata pela linearização contém o termo
. Existem duas abordagens práticas que costumam aparecer em provas:
- Se for razoável desprezar a contribuição de
(por exemplo, se for conhecido como pequeno, ou se a pergunta só queria o efeito devido a ), pode-se aproximar . Nesse caso obtemos uma estimativa numérica direta. - Se não há razão para desprezar
, a melhor resposta é a fórmula que deixa explícito.
Vou dar as duas formas finais (a forma geral e a forma numérica assumindo
).
Resposta
Assumindo
: