Dado que f_{y}(2,5)=-1, use a aproximação linear para estimar f(2,3 ; 4,8).

Passo 1

O enunciado dá a informação f_{y}(2,5)=-1 e pede para usar a aproximação linear para estimar f(2,3 ; 4,8).
Interpretação das notações (importante): as vírgulas no enunciado são separadores decimais (estilo português). Assim
  • o ponto em que conhecemos a derivada parcial é (2,5) (ou seja x=2,\;y=5);
  • o ponto em que queremos estimar a função é (2,3 ; 4,8), que interpretarei como o ponto (x,y)=(2,3,\;4,8) no sentido decimal — isto é, x=2,3 e y=4,8.
O que é pedido: estimar f(2,3;\;4,8) a partir de informação local em (2,5).

Passo 2

Lembrete (fórmula da aproximação linear / diferencial total). Para uma função de duas variáveis f(x,y) suavemente diferenciável perto de um ponto (a,b), a aproximação linear (linearização) em torno de (a,b) diz:
f(a+\Delta x,\;b+\Delta y)\approx f(a,b)+f_x(a,b)\,\Delta x+f_y(a,b)\,\Delta y.
Aqui:
  • f_x(a,b) é a derivada parcial de f em relação a x no ponto (a,b);
  • f_y(a,b) é a derivada parcial de f em relação a y no ponto (a,b);
  • \Delta x é a variação de x (valor novo menos a);
  • \Delta y é a variação de y (valor novo menos b).
Explicação simples: a fórmula diz que, para mudanças pequenas em x e y, a variação de f é aproximadamente a soma das contribuições lineares das variações em x e em y.

Passo 3

Calcular as variações \Delta x e \Delta y entre o ponto base (a,b)=(2,5) e o ponto alvo (2,3,\;4,8), isto é (x,y)=(2,3,\;4,8):
\Delta x = 2,3-2 = 0,3, \qquad \Delta y = 4,8-5 = -0,2.

Passo 4

Aplicar a fórmula da linearização em (a,b)=(2,5):
f(2,3;\;4,8)\approx f(2,5)+f_x(2,5)\cdot(0,3)+f_y(2,5)\cdot(-0,2).
Já nos foi dado f_y(2,5)=-1. Substituindo:
f(2,3;\;4,8)\approx f(2,5)+f_x(2,5)\cdot(0,3)+(-1)\cdot(-0,2).
Simplificando o último termo:
(-1)\cdot(-0,2)=0,2,
portanto
f(2,3;\;4,8)\approx f(2,5)+0,3\,f_x(2,5)+0,2.

Passo 5

Comentário sobre a falta de f_x(2,5): o enunciado só fornece f_y(2,5). Assim a expressão exata pela linearização contém o termo 0,3\,f_x(2,5). Existem duas abordagens práticas que costumam aparecer em provas:
  • Se for razoável desprezar a contribuição de f_x (por exemplo, se f_x(2,5) for conhecido como pequeno, ou se a pergunta só queria o efeito devido a y), pode-se aproximar f_x(2,5)\approx 0. Nesse caso obtemos uma estimativa numérica direta.
  • Se não há razão para desprezar f_x(2,5), a melhor resposta é a fórmula que deixa f_x(2,5) explícito.
Vou dar as duas formas finais (a forma geral e a forma numérica assumindo f_x(2,5)\approx 0).

Resposta

f(2,3;\;4,8)\approx f(2,5)+0,3\,f_x(2,5)+0,2
Assumindo f_x(2,5)\approx 0: f(2,3;\;4,8)\approx f(2,5)+0,2

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