A expressão é a função de três variáveis f(x,y,z)=\dfrac{y^{3}+x z+1}{x+y^{2}+z^{2}}.
O ponto para o qual (x,y,z) tende é (0,1,2).
Não há outras condições ou restrições explicitas no enunciado.
Passo 2
Princípio que vamos usar (explicação didática): polinômios em várias variáveis são funções contínuas — isto significa que se (x,y,z)\to(a,b,c) então o valor do polinômio tende ao polinômio avaliado em (a,b,c). Regras úteis que decorrem disso:
A soma e o produto de funções com limite existem e valem a soma e o produto dos limites.
A razão g/h tem limite igual a limite de g dividido pelo limite de h sempre que o limite de h for diferente de zero.
No nosso caso, o numerador y^{3}+x z+1 e o denominador x+y^{2}+z^{2} são polinômios em (x,y,z). Portanto, se o denominador avaliado em (0,1,2) for diferente de zero, podemos obter o limite simplesmente substituindo os valores: avaliar numerador e denominador no ponto e dividir.
Passo 3
Calcular o denominador em (0,1,2). Avaliando:
x+y^{2}+z^{2}\Big|_{(0,1,2)}=0+1^{2}+2^{2}=1+4=5.
Observação: o valor é \,5\neq0, então a divisão é bem definida no ponto e a regra da razão é aplicável.
Pequena verificação intuitiva: qualquer caminho que aproxime (0,1,2) (por exemplo (x,1,2) com x\to0 ou (0,1+1/n,2) com n\to\infty) dará numerador próximo de 2 e denominador próximo de 5, produzindo razão próxima de 2/5, consistente com a conclusão.