Questāo 1 ( 1,5 pontos) Determine o limite:
\left(0,5\right. ponto) \lim _{(x, y, z) \rightarrow(0,1,2)} \frac{y^{3}+x z+1}{x+y^{2}+z^{2}}.

Passo 1

O enunciado pede: determinar o limite
\lim_{(x,y,z)\to(0,1,2)} \frac{y^{3}+x z+1}{x+y^{2}+z^{2}}.
Informações dadas:
  • A expressão é a função de três variáveis f(x,y,z)=\dfrac{y^{3}+x z+1}{x+y^{2}+z^{2}}.
  • O ponto para o qual (x,y,z) tende é (0,1,2).
  • Não há outras condições ou restrições explicitas no enunciado.

Passo 2

Princípio que vamos usar (explicação didática): polinômios em várias variáveis são funções contínuas — isto significa que se (x,y,z)\to(a,b,c) então o valor do polinômio tende ao polinômio avaliado em (a,b,c). Regras úteis que decorrem disso:
  • A soma e o produto de funções com limite existem e valem a soma e o produto dos limites.
  • A razão g/h tem limite igual a limite de g dividido pelo limite de h sempre que o limite de h for diferente de zero.
    No nosso caso, o numerador y^{3}+x z+1 e o denominador x+y^{2}+z^{2} são polinômios em (x,y,z). Portanto, se o denominador avaliado em (0,1,2) for diferente de zero, podemos obter o limite simplesmente substituindo os valores: avaliar numerador e denominador no ponto e dividir.

Passo 3

Calcular o denominador em (0,1,2). Avaliando:
x+y^{2}+z^{2}\Big|_{(0,1,2)}=0+1^{2}+2^{2}=1+4=5.
Observação: o valor é \,5\neq0, então a divisão é bem definida no ponto e a regra da razão é aplicável.

Passo 4

Calcular o numerador em (0,1,2). Avaliando:
y^{3}+x z+1\Big|_{(0,1,2)}=1^{3}+0\cdot 2+1=1+0+1=2.

Passo 5

Aplicando a regra da razão (já que o denominador no ponto é diferente de zero), o limite é a razão dos valores:
\lim_{(x,y,z)\to(0,1,2)} \frac{y^{3}+x z+1}{x+y^{2}+z^{2}}=\frac{2}{5}.
Pequena verificação intuitiva: qualquer caminho que aproxime (0,1,2) (por exemplo (x,1,2) com x\to0 ou (0,1+1/n,2) com n\to\infty) dará numerador próximo de 2 e denominador próximo de 5, produzindo razão próxima de 2/5, consistente com a conclusão.

Resposta

\dfrac{2}{5}

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