Utilize coordenadas polares para determinar o limite. (Se ( r, \theta ) são as coordenadas polares do ponto (x, y) com r \geq 0, observe que r \rightarrow 0^{+}quando (x, y) \rightarrow(0,0).)
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{e^{x^{2}+y^{2}-1}}{x^{2}+y^{2}}

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{e^{x^{2}+y^{2}-1}}{x^{2}+y^{2}}.
Informações relevantes dadas:
  • As coordenadas polares do ponto (x,y) são (r,\theta) com r\ge 0 e r\to 0^{+} quando (x,y)\to(0,0).
  • Em polares vale r^{2}=x^{2}+y^{2}.
    A próxima etapa é reescrever a expressão em função de r e estudar o comportamento quando r\to 0^{+}.

Passo 2

Substituindo x^{2}+y^{2}=r^{2} na expressão, obtemos
\frac{e^{x^{2}+y^{2}-1}}{x^{2}+y^{2}}=\frac{e^{r^{2}-1}}{r^{2}}.
Podemos separar o fator e^{-1}:
\frac{e^{r^{2}-1}}{r^{2}}=e^{-1}\cdot\frac{e^{r^{2}}}{r^{2}}.

Passo 3

Vamos entender o fator e^{r^{2}} quando r\to 0^{+}. Pela continuidade da função exponencial,
\lim_{r\to 0^{+}} e^{r^{2}} = e^{0}=1.
Portanto para r pequeno a expressão comporta-se como e^{-1}\cdot\frac{1}{r^{2}} multiplicada por um fator que tende a 1.

Passo 4

Para tornar a conclusão rigorosa, note que para todo r\ge 0 vale e^{r^{2}}\ge 1. Assim
\frac{e^{r^{2}-1}}{r^{2}} = e^{-1}\cdot\frac{e^{r^{2}}}{r^{2}} \ge e^{-1}\cdot\frac{1}{r^{2}}.
Como
\lim_{r\to 0^{+}} \frac{1}{r^{2}} = +\infty,
pela comparação (uma função maior ou igual a algo que diverge positivamente também diverge positivamente) segue que
\lim_{r\to 0^{+}} \frac{e^{r^{2}-1}}{r^{2}} = +\infty.

Passo 5

Interpretação final: ao aproximar (x,y) de (0,0) a quantidade x^{2}+y^{2} vai para 0 muito mais rápido do que o numerador e^{x^{2}+y^{2}-1} se aproxima de e^{-1}, por isso a razão tende a +\infty. Em outras palavras, o limite não é um número finito; a função explode para +\infty na origem.

Resposta

+\infty

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