Utilize coordenadas polares para determinar o limite. (Se (
) são as coordenadas polares do ponto
com
, observe que
quando
.)
Passo 1
O enunciado pede o limite
Informações relevantes dadas:
- As coordenadas polares do ponto
são com e quando . - Em polares vale
.
A próxima etapa é reescrever a expressão em função dee estudar o comportamento quando .
Passo 2
Substituindo
na expressão, obtemos
Podemos separar o fator
:
Passo 3
Vamos entender o fator
quando
. Pela continuidade da função exponencial,
Portanto para
pequeno a expressão comporta-se como
multiplicada por um fator que tende a
.
Passo 4
Para tornar a conclusão rigorosa, note que para todo
vale
. Assim
Como
pela comparação (uma função maior ou igual a algo que diverge positivamente também diverge positivamente) segue que
Passo 5
Interpretação final: ao aproximar
de
a quantidade
vai para
muito mais rápido do que o numerador
se aproxima de
, por isso a razão tende a
. Em outras palavras, o limite não é um número finito; a função explode para
na origem.