Questāo 2 ( 1,5 pontos) Considere a função f(x, y, z)=z^{2} \sqrt{5-x^{2}+y^{3}}+\ln \left(1+e^{y}\right). Calcule a derivada direcional D_{a, f} no ponto ( 1,0,2 ) na direção do vetor ( 1,0,-1 ).
Passo 1
O enunciado pede: calcular a derivada direcional D_{a,f} da função
A função f está definida por \;f(x,y,z)=z^{2}\sqrt{5-x^{2}+y^{3}}+\ln\left(1+e^{y}\right).
O ponto onde avaliaremos é a=(1,0,2).
O vetor de direção é v=(1,0,-1).
O que devemos retornar: o valor numérico da derivada direcional de f em a na direção de v.
Passo 2
Lembra do conceito: a derivada direcional de f em a na direção de um vetor v unitário \,u é o produto escalar entre o gradiente de f em a e u:
D_{a,f}(u)=\nabla f(a)\cdot u.
Explicando devagar: \nabla f(a) é o vetor formado pelas derivadas parciais de f (mostra a taxa de variação de f em cada eixo). Projetando esse vetor na direção u (fazendo o produto escalar) obtemos a taxa de variação de f exatamente naquela direção. Portanto o plano de ação:
Calcular as derivadas parciais \partial f/\partial x, \partial f/\partial y, \partial f/\partial z.
Avaliá-las no ponto a=(1,0,2) para obter \nabla f(a).
Normalizar o vetor de direção v=(1,0,-1) para obter o vetor unitário u.
Calcular \nabla f(a)\cdot u.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais da função passo a passo, usando regras básicas (regra da cadeia, potência, derivada do logaritmo).