Questāo 2 ( 1,5 pontos) Considere a função f(x, y, z)=z^{2} \sqrt{5-x^{2}+y^{3}}+\ln \left(1+e^{y}\right). Calcule a derivada direcional D_{a, f} no ponto ( 1,0,2 ) na direção do vetor ( 1,0,-1 ).

Passo 1

O enunciado pede: calcular a derivada direcional D_{a,f} da função
f(x,y,z)=z^{2}\sqrt{5-x^{2}+y^{3}}+\ln\left(1+e^{y}\right)
no ponto (1,0,2) na direção do vetor (1,0,-1).
Informações dadas:
  • A função f está definida por \;f(x,y,z)=z^{2}\sqrt{5-x^{2}+y^{3}}+\ln\left(1+e^{y}\right).
  • O ponto onde avaliaremos é a=(1,0,2).
  • O vetor de direção é v=(1,0,-1).
O que devemos retornar: o valor numérico da derivada direcional de f em a na direção de v.

Passo 2

Lembra do conceito: a derivada direcional de f em a na direção de um vetor v unitário \,u é o produto escalar entre o gradiente de f em a e u:
D_{a,f}(u)=\nabla f(a)\cdot u.
Explicando devagar: \nabla f(a) é o vetor formado pelas derivadas parciais de f (mostra a taxa de variação de f em cada eixo). Projetando esse vetor na direção u (fazendo o produto escalar) obtemos a taxa de variação de f exatamente naquela direção. Portanto o plano de ação:
  1. Calcular as derivadas parciais \partial f/\partial x, \partial f/\partial y, \partial f/\partial z.
  2. Avaliá-las no ponto a=(1,0,2) para obter \nabla f(a).
  3. Normalizar o vetor de direção v=(1,0,-1) para obter o vetor unitário u.
  4. Calcular \nabla f(a)\cdot u.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais da função passo a passo, usando regras básicas (regra da cadeia, potência, derivada do logaritmo).
Primeiro note a parte comum:
g(x,y)=\sqrt{5-x^{2}+y^{3}}=(5-x^{2}+y^{3})^{1/2}.
A função é f(x,y,z)=z^{2}g(x,y)+\ln\left(1+e^{y}\right).
Derivada parcial em relação a x:
\frac{\partial f}{\partial x}=z^{2}\cdot\frac{\partial}{\partial x}g(x,y).
Usando a regra da cadeia em g:
\frac{\partial g}{\partial x}=\frac{1}{2}(5-x^{2}+y^{3})^{-1/2}\cdot(-2x)=-x(5-x^{2}+y^{3})^{-1/2}.
Logo
\frac{\partial f}{\partial x}=-x z^{2}(5-x^{2}+y^{3})^{-1/2}.
Derivada parcial em relação a y:
\frac{\partial f}{\partial y}=z^{2}\cdot\frac{\partial}{\partial y}g(x,y)+\frac{d}{dy}\ln\left(1+e^{y}\right).
Para g,
\frac{\partial g}{\partial y}=\frac{1}{2}(5-x^{2}+y^{3})^{-1/2}\cdot(3y^{2})=\frac{3}{2}y^{2}(5-x^{2}+y^{3})^{-1/2}.
E para o logaritmo,
\frac{d}{dy}\ln\left(1+e^{y}\right)=\frac{e^{y}}{1+e^{y}}.
Portanto
\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{3}{2}y^{2}z^{2}(5-x^{2}+y^{3})^{-1/2}+\frac{e^{y}}{1+e^{y}}.
Derivada parcial em relação a z:
\frac{\partial f}{\partial z}= \frac{\partial}{\partial z}\big(z^{2}g(x,y)\big)=2z\;g(x,y)=2z(5-x^{2}+y^{3})^{1/2}.

Passo 4

Agora avaliamos cada parcial no ponto a=(1,0,2).
Calcule primeiro o termo comum:
5-x^{2}+y^{3}\bigg|_{(1,0,2)}=5-1^{2}+0^{3}=5-1+0=4,
logo \sqrt{5-x^{2}+y^{3}}\big|_{(1,0,2)}= \sqrt{4}=2.
Avalia \partial f/\partial x:
\frac{\partial f}{\partial x}\Big|_{(1,0,2)} = -x z^{2}(5-x^{2}+y^{3})^{-1/2}\Big|_{(1,0,2)} = -1\cdot 2^{2}\cdot \frac{1}{2}= -\frac{4}{2}=-2.
Avalia \partial f/\partial y:
O primeiro termo tem fator y^{2}, e como y=0 esse termo some. O segundo termo com y=0
\frac{e^{y}}{1+e^{y}}\Big|_{y=0}=\frac{e^{0}}{1+e^{0}}=\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2}.
Portanto
\frac{\partial f}{\partial y}\Big|_{(1,0,2)}=\frac{1}{2}.
Avalia \partial f/\partial z:
\frac{\partial f}{\partial z}\Big|_{(1,0,2)}=2z\sqrt{5-x^{2}+y^{3}}\Big|_{(1,0,2)}=2\cdot 2\cdot 2=8.
Assim o gradiente em a é
\nabla f(1,0,2)=\big(-2,\tfrac{1}{2},8\big).

Passo 5

Precisamos do vetor unitário na direção de v=(1,0,-1). Calcule o comprimento de v:
\|v\|=\sqrt{1^{2}+0^{2}+(-1)^{2}}=\sqrt{1+0+1}=\sqrt{2}.
Portanto o vetor unitário é
u=\frac{1}{\sqrt{2}}(1,0,-1)=\big(\tfrac{1}{\sqrt{2}},0,-\tfrac{1}{\sqrt{2}}\big).

Passo 6

Agora calculamos a derivada direcional como produto escalar:
D_{a,f}(u)=\nabla f(1,0,2)\cdot u.
Fazendo o produto escalar:
D_{a,f}(u)=\big(-2,\tfrac{1}{2},8\big)\cdot\big(\tfrac{1}{\sqrt{2}},0,-\tfrac{1}{\sqrt{2}}\big) = -2\cdot\tfrac{1}{\sqrt{2}} + \tfrac{1}{2}\cdot 0 + 8\cdot\big(-\tfrac{1}{\sqrt{2}}\big).
D_{a,f}(u)=\frac{-2-8}{\sqrt{2}}=\frac{-10}{\sqrt{2}}.
Simplificando racionalizando o denominador:
\frac{-10}{\sqrt{2}}=-5\sqrt{2}.

Resposta

-5\sqrt{2}

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