Considere o experimento de retirar cinco cartas, sem reposição, de um baralho e observar o naipe da carta. Lembre que são 52 cartas, sendo 4 naipes (copas, espadas, ouros e paus) com 13 cartas cada.
(a) Enumere os resultados possíveis.
(b) Defina a variável aleatória X= o número de cartas do naipe espada que ocorrem nas cinco retiradas.
(c) Verifique quais valores a variável X assume.
(d) A variável X é discreta ou contínua?
(e) Construa a tabela de distribuição de probabilidade P(X).

Passo 1

O enunciado dá que se retira \,5\, cartas de um baralho padrão de \,52\, cartas, sem reposição, e observa-se apenas o naipe de cada carta. Há \,4\, naipes (copas, espadas, ouros, paus) com \,13\, cartas cada.
As perguntas são:
(a) enumerar os resultados possíveis;
(b) definir a variável aleatória X = número de cartas do naipe espada nas cinco retiradas;
(c) indicar quais valores X pode assumir;
(d) dizer se X é discreta ou contínua;
(e) construir a tabela da distribuição de probabilidade P(X).

Passo 2

(a) Enumerar os resultados possíveis (o que é um “resultado” aqui).
Como se observa o naipe em cada retirada e as retiradas têm ordem (primeira, segunda, … quinta), um resultado é uma sequência de 5 naipes, por exemplo (\text{espada},\text{copas},\text{paus},\text{ouros},\text{copas}). Em cada posição há 4 possibilidades e, como 5\le 13, todas as sequências de naipes são factíveis (não há restrição por falta de cartas do mesmo naipe). Portanto o espaço amostral contém todas as sequências de comprimento 5 com elementos em um conjunto de 4 naipes. O número de resultados possíveis é
4^{5}=1024.
Exemplos de elementos do espaço amostral: (\text{copas},\text{copas},\text{copas},\text{copas},\text{copas}), (\text{espada},\text{espada},\text{ouros},\text{paus},\text{copas}), etc.

Passo 3

(b) Definição da variável aleatória X.
Defino X:\Omega\to\{0,1,2,3,4,5\} como a função que, a cada sequência de 5 naipes (resultado do experimento), associa o número de cartas do naipe espada nessa sequência. Formalmente: se \omega=(s_1,s_2,s_3,s_4,s_5) com s_i o naipe da i-ésima carta, então
X(\omega)=\sum_{i=1}^{5} \mathbf{1}_{\{s_i=\text{espada}\}},
onde \mathbf{1}_{\{\cdot\}} é a função indicador (vale 1 se a condição for verdadeira, caso contrário 0).

Passo 4

(c) Valores que X assume.
Como X conta o número de espadas em 5 retiradas, ele não pode ser negativo e não pode exceder 5. Além disso há 13 espadas no baralho, então não há restrição adicional (pois 5\le 13). Logo
X\in\{0,1,2,3,4,5\}.

Passo 5

(d) X é discreta ou contínua?
X só toma os seis valores inteiros listados acima, ou seja, um conjunto finito de valores. Uma variável é dita discreta quando seus valores formam um conjunto enumerável (finitos ou contáveis) — geralmente são contagens. Uma variável contínua toma valores em um intervalo real (infinitos não enumeráveis). Portanto X é uma variável aleatória discreta.

Passo 6

(e) Construção da tabela de probabilidade P(X) — derivação da fórmula.
Como as cartas são retiradas sem reposição, a distribuição de X é a distribuição hipergeométrica. Explicação combinatória (passo a passo):
  • \,13\, cartas “sucesso” (espadas) no total \,N=52 cartas. As outras \,39\, cartas são “fracassos” (não-espadas).
  • Ao escolher 5 cartas sem reposição, o número de formas de obter exatamente k espadas é: escolher k cartas entre as 13 espadas e escolher as outras 5-k cartas entre as 39 não-espadas. O número de maneiras de fazer isso é
\binom{13}{k}\binom{39}{5-k}.
  • O número total de maneiras de escolher 5 cartas dentre 52 (ignorando ordem) é
\binom{52}{5}.
  • Assim, para k=0,1,\dots,5,
P(X=k)=\frac{\binom{13}{k}\binom{39}{5-k}}{\binom{52}{5}}.
Isto é a fórmula hipergeométrica. A explicação intui que todas as combinações de 5 cartas são igualmente prováveis (porque as cartas são indistintas dentro do mesmo conjunto de combinações), e contamos as combinações favoráveis.

Passo 7

(e) Tabela explícita com valores exatos (combinações) e aproximações decimais (para leitura rápida). Usaremos \binom{52}{5}=2598960 e os valores \binom{13}{k} e \binom{39}{5-k} já calculados:
  • \binom{13}{0}=1,\\ \binom{39}{5}=575\,757 → numerador =575\,757.
    P(X=0)=\frac{575{,}757}{2{,}598{,}960}\approx 0{,}2215336.
  • \binom{13}{1}=13,\\ \binom{39}{4}=82\,251 → numerador =1{,}069{,}263.
    P(X=1)=\frac{1{,}069{,}263}{2{,}598{,}960}\approx 0{,}4114195.
  • \binom{13}{2}=78,\\ \binom{39}{3}=9{,}139 → numerador =712{,}842.
    P(X=2)=\frac{712{,}842}{2{,}598{,}960}\approx 0{,}2742797.
  • \binom{13}{3}=286,\\ \binom{39}{2}=741 → numerador =211{,}926.
    P(X=3)=\frac{211{,}926}{2{,}598{,}960}\approx 0{,}0815426.
  • \binom{13}{4}=715,\\ \binom{39}{1}=39 → numerador =27{,}885.
    P(X=4)=\frac{27{,}885}{2{,}598{,}960}\approx 0{,}0107291.
  • \binom{13}{5}=1{,}287,\\ \binom{39}{0}=1 → numerador =1{,}287.
    P(X=5)=\frac{1{,}287}{2{,}598{,}960}\approx 0{,}0004952.
Verificação rápida: a soma das probabilidades (usando os numeradores somados) dá exatamente 1.
Observação prática para a prova: memorize a forma hipergeométrica
P(X=k)=\frac{\binom{K}{k}\binom{N-K}{n-k}}{\binom{N}{n}}
onde N=52, K=13 (número de espadas), n=5. Para calcular numericamente, calcule as combinações com a fatoração ou cancele termos antes de multiplicar para evitar números muito grandes.

Resposta

(a) Todos os resultados possíveis são as sequências ordenadas de 5 naipes; há 4^{5}=1024 resultados possíveis.
(b) X = número de cartas do naipe espada nas 5 retiradas; formalmente X(\omega)=\sum_{i=1}^{5}\mathbf{1}_{\{s_i=\text{espada}\}}.
(c) X\in\{0,1,2,3,4,5\}.
(d) X é uma variável aleatória discreta.
(e) Para k=0,1,2,3,4,5,
P(X=k)=\frac{\binom{13}{k}\binom{39}{5-k}}{\binom{52}{5}},
com valores numéricos aproximados:
\begin{aligned} P(X=0)&\approx0{,}2215336,\\\ P(X=1)&\approx0{,}4114195,\\\ P(X=2)&\approx0{,}2742797,\\\ P(X=3)&\approx0{,}0815426,\\\ P(X=4)&\approx0{,}0107291,\\\ P(X=5)&\approx0{,}0004952. \end{aligned}

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