Considere o experimento de retirar cinco cartas, sem reposição, de um baralho e observar o naipe da carta. Lembre que são 52 cartas, sendo 4 naipes (copas, espadas, ouros e paus) com 13 cartas cada.
(a) Enumere os resultados possíveis.
(b) Defina a variável aleatória
o número de cartas do naipe espada que ocorrem nas cinco retiradas.
(c) Verifique quais valores a variável
assume.
(d) A variável
é discreta ou contínua?
(e) Construa a tabela de distribuição de probabilidade
.
(a) Enumere os resultados possíveis.
(b) Defina a variável aleatória
(c) Verifique quais valores a variável
(d) A variável
(e) Construa a tabela de distribuição de probabilidade
Passo 1
O enunciado dá que se retira
cartas de um baralho padrão de
cartas, sem reposição, e observa-se apenas o naipe de cada carta. Há
naipes (copas, espadas, ouros, paus) com
cartas cada.
As perguntas são:
(a) enumerar os resultados possíveis;
(b) definir a variável aleatória = número de cartas do naipe espada nas cinco retiradas;
(c) indicar quais valores pode assumir;
(d) dizer se é discreta ou contínua;
(e) construir a tabela da distribuição de probabilidade .
As perguntas são:
(a) enumerar os resultados possíveis;
(b) definir a variável aleatória
(c) indicar quais valores
(d) dizer se
(e) construir a tabela da distribuição de probabilidade
Passo 2
(a) Enumerar os resultados possíveis (o que é um “resultado” aqui).
Como se observa o naipe em cada retirada e as retiradas têm ordem (primeira, segunda, … quinta), um resultado é uma sequência de naipes, por exemplo
. Em cada posição há
possibilidades e, como
, todas as sequências de naipes são factíveis (não há restrição por falta de cartas do mesmo naipe). Portanto o espaço amostral contém todas as sequências de comprimento
com elementos em um conjunto de
naipes. O número de resultados possíveis é
Como se observa o naipe em cada retirada e as retiradas têm ordem (primeira, segunda, … quinta), um resultado é uma sequência de
Exemplos de elementos do espaço amostral:
,
, etc.
Passo 3
(b) Definição da variável aleatória
.
Defino como a função que, a cada sequência de
naipes (resultado do experimento), associa o número de cartas do naipe espada nessa sequência. Formalmente: se
com
o naipe da
-ésima carta, então
Defino
onde
é a função indicador (vale
se a condição for verdadeira, caso contrário
).
Passo 4
(c) Valores que
assume.
Como conta o número de espadas em
retiradas, ele não pode ser negativo e não pode exceder
. Além disso há
espadas no baralho, então não há restrição adicional (pois
). Logo
Como
Passo 5
(d)
é discreta ou contínua?
só toma os seis valores inteiros listados acima, ou seja, um conjunto finito de valores. Uma variável é dita discreta quando seus valores formam um conjunto enumerável (finitos ou contáveis) — geralmente são contagens. Uma variável contínua toma valores em um intervalo real (infinitos não enumeráveis). Portanto
é uma variável aleatória discreta.
Passo 6
(e) Construção da tabela de probabilidade
— derivação da fórmula.
Como as cartas são retiradas sem reposição, a distribuição de é a distribuição hipergeométrica. Explicação combinatória (passo a passo):
Como as cartas são retiradas sem reposição, a distribuição de
- Há
cartas “sucesso” (espadas) no total cartas. As outras cartas são “fracassos” (não-espadas). - Ao escolher
cartas sem reposição, o número de formas de obter exatamente espadas é: escolher cartas entre as espadas e escolher as outras cartas entre as não-espadas. O número de maneiras de fazer isso é
- O número total de maneiras de escolher
cartas dentre (ignorando ordem) é
- Assim, para
,
Isto é a fórmula hipergeométrica. A explicação intui que todas as combinações de 5 cartas são igualmente prováveis (porque as cartas são indistintas dentro do mesmo conjunto de combinações), e contamos as combinações favoráveis.
Passo 7
(e) Tabela explícita com valores exatos (combinações) e aproximações decimais (para leitura rápida). Usaremos
e os valores
e
já calculados:
-
→ numerador . -
→ numerador . -
→ numerador . -
→ numerador . -
→ numerador . -
→ numerador .
Verificação rápida: a soma das probabilidades (usando os numeradores somados) dá exatamente
.
Observação prática para a prova: memorize a forma hipergeométrica
onde
,
(número de espadas),
. Para calcular numericamente, calcule as combinações com a fatoração ou cancele termos antes de multiplicar para evitar números muito grandes.
Resposta
(a) Todos os resultados possíveis são as sequências ordenadas de
naipes; há
resultados possíveis.
(b) = número de cartas do naipe espada nas
retiradas; formalmente
.
(c) .
(d) é uma variável aleatória discreta.
(e) Para ,
(b)
(c)
(d)
(e) Para
com valores numéricos aproximados: