Um dado é formado por chapas de plástico de 10 cm times 10 cm. Em média aparecem 150 defeitos por metro quadrado de plástico, segundo uma distribuição de Poisson.
Qual a probabilidade do dado apresentar no mínimo três defeitos?
Justifique sua resposta!

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um dado feito de chapas de plástico com dimensões de 10 cm x 10 cm. Sabemos que, em média, aparecem 150 defeitos por metro quadrado de plástico, seguindo uma distribuição de Poisson. Precisamos calcular a probabilidade de que um dado específico apresente pelo menos três defeitos. Para resolver isso, vamos utilizar a distribuição de Poisson, que é ideal para calcular a probabilidade de um certo número de eventos ocorrer em um intervalo fixo de espaço ou tempo, quando esses eventos acontecem com uma taxa conhecida e de forma independente.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a área do dado em metros quadrados, já que a taxa de defeitos é dada por metro quadrado. Sabemos que 10 cm é igual a 0,1 metros. Então, a área $ A $ do dado é:
A

Passo 3

A taxa média de defeitos por metro quadrado é 150. Para encontrar a taxa média de defeitos na área do dado ($ \lambda $), multiplicamos essa taxa pela área do dado:
lambda

Passo 4

Agora, vamos usar a fórmula da distribuição de Poisson para encontrar a probabilidade de ocorrer pelo menos três defeitos. A fórmula da distribuição de Poisson é:
P(k) = lambda^k e^-lambdak!
onde:
  • $ P(k) $ é a probabilidade de ocorrer exatamente $ k $ defeitos,
  • $ \lambda $ é a taxa média de defeitos,
  • $ e $ é a base do logaritmo natural (~2,71828),
  • $ k! $ é o fatorial de $ k $.
Para encontrar a probabilidade de pelo menos três defeitos, ou seja, $ P(k \geq 3) $, podemos calcular $ 1 - P(k < 3) $, que é a probabilidade de ter menos de três defeitos (0, 1 ou 2 defeitos).

Passo 5

Vamos calcular $ P(k < 3) $, ou seja, a soma das probabilidades de ter 0, 1 ou 2 defeitos.
Para $ k = 0 $:
P(k < 3)
Para $ k = 1 $:
k = 0
Para $ k = 2 $:
P(0) = 1,5^0 e^-1,50! = 1 times e^-1,51 = e^-1,5 approx 0,22313

Passo 6

Somando as probabilidades de 0, 1 e 2 defeitos:
P(k < 3) = P(0) + P(1) + P(2) approx 0,22313 + 0,33470 + 0,25103 = 0,80886

Passo 7

Agora, para encontrar a probabilidade de ter pelo menos três defeitos, subtraímos $ P(k < 3) $ de 1:
P(k < 3)

Resposta

A probabilidade do dado apresentar no mínimo três defeitos é aproximadamente 0,191, ou 19,1%.

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