Seja X sim N(mu, sigma^2). Então, determine o valor de c sabendo que:
O menor ponto de inflexão da função densidade é 1 ;
Justifique sua resposta!

Passo 1

Beleza, vamos recapitular o que o exercício pede. A gente tem uma variável aleatória
Xsim N(mu,sigma^2)
cuja densidade é
f(x)=c;exp!l(-(x-mu)^22sigma^2r)
O objetivo é descobrir o valor de , sabendo que o menor ponto de inflexão dessa curva de densidade ocorre em .
Para isso vamos precisar de:
  1. Como a gente acha fazendo a integral da densidade = 1 (normalização).
  2. Como achar os pontos de inflexão de uma função a partir da segunda derivada.

Passo 2

Primeiro, achar integral-infty^infty f(x),dx ;=; integral-infty^infty c;exp!l(-(x-mu)^22sigma^2r),dx =1 pela normalização. A densidade tem que satisfazer
integral-infty^infty exp!l(-(x-mu)^22sigma^2r),dx =sigmaraiz2pi
A gente já sabe da teoria da normal que
c;l(sigmaraiz2pir)=1 Longrightarrow boxedc=1sigmaraiz2pi,
Logo, para que a área dê 1, tem que rolar

Passo 3

Agora vamos achar os pontos de inflexão de f'(x) =c;exp!l(-tfrac(x-mu)^22sigma^2r);l(-tfracx-musigma^2r) .
  1. A gente calcula f''(x) =c;exp!l(-tfrac(x-mu)^22sigma^2r) l[underbracel(-tfrac1sigma^2r)(-tfracx-musigma^2) -tfracx-musigma^2cdotl(-tfracx-musigma^2r)derivando o item internor] .
    • Primeiro derivada: f''(x) =c;exp!l(-tfrac(x-mu)^22sigma^2r) ;(x-mu)^2-sigma^2sigma^4
    • Segunda derivada: (x-mu)^2-sigma^2 =0 Longrightarrow (x-mu)^2 = sigma^2 Longrightarrow x=mupmsigma Organizando dá xrm menor=mu-sigma
  2. Ponto de inflexão vem quando e troca de sinal. A parte que zera é Esses são os dois pontos de inflexão, e o menor deles é

Passo 4

O enunciado diz que esse menor ponto de inflexão vale mu-sigma=1 . Então
Isso é tudo que a condição de inflexão nos dá sobre e .

Resposta

A constante de normalização da densidade normal é
boxedc=1sigmaraiz2pi
E a condição “menor ponto de inflexão = 1” só nos diz que .

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