Seja
. Então, determine o valor de
sabendo que:
O menor ponto de inflexão da função densidade é 1 ;
Justifique sua resposta!
O menor ponto de inflexão da função densidade é 1 ;
Justifique sua resposta!
Passo 1
Beleza, vamos recapitular o que o exercício pede. A gente tem uma variável aleatória
cuja densidade é
O objetivo é descobrir o valor de
, sabendo que o menor ponto de inflexão dessa curva de densidade ocorre em
.
Para isso vamos precisar de:
Para isso vamos precisar de:
- Como a gente acha
fazendo a integral da densidade = 1 (normalização). - Como achar os pontos de inflexão de uma função a partir da segunda derivada.
Passo 2
Primeiro, achar
pela normalização. A densidade tem que satisfazer
A gente já sabe da teoria da normal que
Logo, para que a área dê 1, tem que rolar
Passo 3
Agora vamos achar os pontos de inflexão de
.
- A gente calcula
. - Primeiro derivada:
- Segunda derivada:
Organizando dá xrm menor=mu-sigma
- Primeiro derivada:
- Ponto de inflexão vem quando
e troca de sinal. A parte que zera é Esses são os dois pontos de inflexão, e o menor deles é
Passo 4
O enunciado diz que esse menor ponto de inflexão vale
mu-sigma=1 . Então
Isso é tudo que a condição de inflexão nos dá sobre
e
.
Resposta
A constante de normalização da densidade normal é
E a condição “menor ponto de inflexão = 1” só nos diz que
.