Seja X sim N(mu, sigma^2). Então, determine o valor de c sabendo que:
O valor máximo da função densidade é 1raiz32 pi;
Justifique sua resposta!

Passo 1

Beleza, a questão diz que 1raiz32pi é uma variável aleatória com distribuição normal , e pede para a gente achar sabendo que o valor máximo da densidade é
Ou seja, o “c” é justamente o desvio-padrão . Vamos usar a fórmula da densidade da normal e descobrir onde ela atinge o valor máximo (que é em ), depois igualar ao número dado e resolver.

Passo 2

Teoria na prática: a função densidade de f(x)=1sigmaraiz2piexp!l( -(x-mu)^22sigma^2r) é
f(mu) = 1sigmaraiz2piexp(0) = 1sigmaraiz2pi
Sabendo que a exponencial é máxima quando o expoente é zero (isto é, em ), obtemos

Passo 3

Agora é só igualar esse pico de densidade ao valor dado e isolar 1sigmaraiz2pi ;=; 1raiz32pi :
sigmaraiz2pi ;=;raiz32pi
Multiplicando em cruz:
sigma^2,(2pi);=;32pi Longrightarrow sigma^2 = 32pi2pi = 16 Longrightarrow sigma = 4
Elevando ao quadrado dos dois lados:
(aqui escolhemos o sinal positivo porque desvio-padrão é sempre ≥0).

Resposta

boxedc = 4

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