Considerando um hexágono regular de lado
. Determine a esperança da área do hexágono, sabendo que
.
Justifique sua resposta!
Justifique sua resposta!
Passo 1
Beleza, antes de mais nada vamos entender o que a questão pede.
– Enunciado resumido: temos um hexágono regular de lado aleatório , sendo
distribuído como
.
– Conteúdo usado: geometria (área de um hexágono regular) e probabilidade (esperança de variável aleatória).
– O que vamos precisar:
– Enunciado resumido: temos um hexágono regular de lado aleatório
– Conteúdo usado: geometria (área de um hexágono regular) e probabilidade (esperança de variável aleatória).
– O que vamos precisar:
- Fórmula da área de um hexágono regular em função de
. - Definição e propriedade de esperança (especialmente a linearidade).
- Cálculo do segundo momento
para .
Passo 2
Primeiro, a área de um hexágono regular de lado
.
– Teoria: dá pra decompor o hexágono em 6 triângulos equiláteros (todos de lado ).
– Área de cada triângulo equilátero de lado é
– Teoria: dá pra decompor o hexágono em 6 triângulos equiláteros (todos de lado
– Área de cada triângulo equilátero de lado
– Logo, a área total do hexágono é
Passo 3
Agora entra a parte de probabilidade: queremos
Usamos a linearidade da esperança (ou seja, constante pode sair da esperança):
Passo 4
Falta calcular
quando
.
– Teoria básica: a densidade de é
para
.
– Definição de momento:
– Teoria básica: a densidade de
– Definição de momento:
Para resolver esse integral, usamos a fórmula geral
.
Aqui e
, então
Aqui
Multiplicando pelo
que está na densidade,
Resposta
Substituindo em
, temos
Ou seja, a esperança da área do hexágono é