Considerando um hexágono regular de lado L. Determine a esperança da área do hexágono, sabendo que L sim Exp(lambda).
Justifique sua resposta!

Passo 1

Beleza, antes de mais nada vamos entender o que a questão pede.
– Enunciado resumido: temos um hexágono regular de lado aleatório , sendo distribuído como .
– Conteúdo usado: geometria (área de um hexágono regular) e probabilidade (esperança de variável aleatória).
– O que vamos precisar:
  1. Fórmula da área de um hexágono regular em função de .
  2. Definição e propriedade de esperança (especialmente a linearidade).
  3. Cálculo do segundo momento para .

Passo 2

Primeiro, a área de um hexágono regular de lado Atriang<= = raiz34,L^2 .
– Teoria: dá pra decompor o hexágono em 6 triângulos equiláteros (todos de lado A(L) = 6 times Atriang<= = 6 times raiz34,L^2 = 6raiz34,L^2 = 3raiz32,L^2 ).
– Área de cada triângulo equilátero de lado é
– Logo, a área total do hexágono é

Passo 3

Agora entra a parte de probabilidade: queremos
El[A(L)r] = E!l[3raiz32,L^2r]
Usamos a linearidade da esperança (ou seja, constante pode sair da esperança):
E[A(L)] = 3raiz32;E[L^2]

Passo 4

Falta calcular E[L^2] = integral0^infty l^2 ,fL(l),dl = integral0^infty l^2,lambda e^-lambda l,dl quando integral0^infty l^2 e^-lambda l,dl = 2!lambda^3 = 2lambda^3 .
– Teoria básica: a densidade de E[L^2] = lambda times 2lambda^3 = 2lambda^2 é para .
– Definição de momento:
Para resolver esse integral, usamos a fórmula geral
.
Aqui e , então
Multiplicando pelo que está na densidade,

Resposta

Substituindo em E[A(L)] = 3raiz32;2lambda^2 = 3raiz3lambda^2 , temos
boxedE[A]=3raiz3lambda^2
Ou seja, a esperança da área do hexágono é

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