Dado a função f(x), os números L e a, prove, usando a definição, que lim x a f(x)=L, ou seja, mostre que para todo epsilon>0 existe de0, tal que
se 0<|x-a|ã
ll 1 lim x 3(2 x+4)=10 & 3 lim x 2(x^2)=4 2 lim x 1(5 x-3)=2 & 4 lim x 2(x^2-2 x+1)=1

Passo 1

O enunciado pede provar, usando a definição formal de limite, que limxto af(x)=L, ou seja, mostrar que para todo epsilon>0 existe de0 tal que
0<|x-a| Precisamos aplicar essa ideia a cada função e calcular um de em função de epsilon.

Passo 2

Para o item 1, temos f(x)=2x+4, a=3 e L=10. Então
|f(x)-L| = |2x+4-10| = 2|x-3|
Para garantir |f(x)-L| basta pedir
2|x-3|
Logo, escolhemos de.

Passo 3

No item 2, f(x)=5x-3, a=1, L=2. Calculamos
|f(x)-L| = |5x-3-2| = 5|x-1|
Para 5|x-1| basta ter
|x-1|
Então podemos definir de.

Passo 4

No item 3, f(x)=x^2, a=2, L=4. Temos
|f(x)-L| = |x^2-4| = |x-2|cdot|x+2|
Para controlar |x+2|, escolhemos provisoriamente de. Assim, se 0<|x-2|<1 então 1 e |x+2|<5. Logo
|f(x)-L| <5|x-2|
Para garantir basta
5|x-2|
Escrevemos então de.

Passo 5

No item 4, f(x)=x^2-2x+1, a=2, L=1. Observamos
f(x)-L = x^2-2x = x(x-2)
e assim
|f(x)-L| = |x|,|x-2|
De novo escolhemos de para ter 1 e |x|<3. Então
|f(x)-L|<3|x-2|
Para basta
|x-2|
Portanto escolhemos de.

Resposta

Para o item 1 escolha de; para o item 2 de; para o item 3 de; e para o item 4 de.

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