Encontre o conjunto solução das inequações abaixo.
Passo 1
Primeiro, o enunciado é encontrar o conjunto de x tal que lvert x^2 - 2xrvert <= 8. O conteúdo aqui é inequação de valor absoluto aplicada a uma expressão quadrática; vamos precisar usar a definição de valor absoluto e, em seguida, estudar o sinal de polinômios do 2º grau.
Passo 2
Sabendo que lvert Arvert <= k é equivalente a -k <= A <= k (com k>=0), aplicamos para A = x^2 - 2x e k=8. Isso nos leva à inequação em bloco
-8 <= x^2 - 2x <= 8
que equivale às duas condições em bloco
x^2 - 2x - 8 <= 0
e
x^2 - 2x + 8 >= 0 .
Passo 3
Para x^2 - 2x - 8 <= 0, resolvemos x^2 - 2x - 8 = 0. O discriminante é
De
logo as raízes são
x = 2pmraiz362 = 2pm62 Rightarrow x=-2,;4
Como o coeficiente de x^2 é positivo, x^2 - 2x - 8<=0 vale exatamente para
[-2,4]
Passo 4
Para x^2 - 2x + 8 >= 0, o discriminante é
De
Como o coeficiente de x^2 é positivo e não há raízes reais, x^2 - 2x + 8 é sempre positivo, ou seja, vale para todo xinR. A solução final é a interseção de [-2,4] com R, que é justamente