Note que y=raiz-2 x^2+6 x-2 é um número real se, por exemplo, x=3 / 2. Indique todos os números reais x tais que y também é um número real.

Passo 1

O exercício quer saber todos os valores de x em que y=raiz-2x^2+6x-2 é um número real, ou seja, encontrar o domínio dessa função. Vamos usar inequações e o estudo de um polinômio de segundo grau.

Passo 2

Para que um radical raizf(x) seja real, o radicando precisa ser não negativo: isso significa
-2x^2+6x-2>=0

Passo 3

Para resolver
-2x^2+6x-2>=0
podemos multiplicar tudo por -1 (lembrando de inverter o sinal da desigualdade), obtendo
2x^2-6x+2<=0

Passo 4

Agora achamos as raízes da parábola definida por
2x^2-6x+2=0
Usando a fórmula de Bhaskara:
x=6pmraiz(-6)^2-4cdot2cdot22cdot2=6pmraiz36-164=6pmraiz204=3pmraiz52
As raízes são x1=tfrac3-raiz52 e x2=tfrac3+raiz52.

Passo 5

Como o coeficiente de x^2 em 2x^2-6x+2 é positivo, a parábola abre para cima e fica abaixo ou igual a zero somente entre as raízes. Logo, o domínio de y é
l[tfrac3-raiz52,,tfrac3+raiz52r]

Resposta

O conjunto de todos os valores de x que tornam y real é l[3-raiz52,,3+raiz52r].

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