Dado uma função, realize os seguintes procedimentos:
(i) Exiba o Domínio.
(ii) Descreva os intervalos de crescimento e decrescimento.
(iii) Descreva os intervalos de concavidade para cima e para baixo.
(iv) Aponte os mínimos e máximos locais, os pontos críticos e os pontos de inflexão, quando existirem.
(v) Deduza as assíntotas horizontais, quando existirem.
(vi) Deduza as assíntotas verticais, quando existirem.
(vii) Deduza as assíntotas oblíquas, quando existirem.
(viii) Esboce o gráfico indicando suas respectivas assíntotas (se existirem) e seus máximos e mínimos globais (se existirem).
As possíveis funções são:
(i) Exiba o Domínio.
(ii) Descreva os intervalos de crescimento e decrescimento.
(iii) Descreva os intervalos de concavidade para cima e para baixo.
(iv) Aponte os mínimos e máximos locais, os pontos críticos e os pontos de inflexão, quando existirem.
(v) Deduza as assíntotas horizontais, quando existirem.
(vi) Deduza as assíntotas verticais, quando existirem.
(vii) Deduza as assíntotas oblíquas, quando existirem.
(viii) Esboce o gráfico indicando suas respectivas assíntotas (se existirem) e seus máximos e mínimos globais (se existirem).
As possíveis funções são:
Passo 1
O enunciado pede, para a função
, que eu faça os itens (i) a (viii):\n
(i) Exiba o domínio.\n
(ii) Descreva os intervalos de crescimento e decrescimento.\n
(iii) Descreva os intervalos de concavidade para cima e para baixo.\n
(iv) Aponte os mínimos e máximos locais, os pontos críticos e os pontos de inflexão, quando existirem.\n
(v) Deduza as assíntotas horizontais, quando existirem.\n
(vi) Deduza as assíntotas verticais, quando existirem.\n
(vii) Deduza as assíntotas oblíquas, quando existirem.\n
(viii) Esboce o gráfico indicando suas respectivas assíntotas e seus máximos e mínimos globais (se existirem).\n\n
Informações dadas: a função é . Não há outras figuras ou tabelas no enunciado. Vou trabalhar explicitamente com essa função, calcular derivadas, limites e estudar sinais para responder todos os itens.
(i) Exiba o domínio.\n
(ii) Descreva os intervalos de crescimento e decrescimento.\n
(iii) Descreva os intervalos de concavidade para cima e para baixo.\n
(iv) Aponte os mínimos e máximos locais, os pontos críticos e os pontos de inflexão, quando existirem.\n
(v) Deduza as assíntotas horizontais, quando existirem.\n
(vi) Deduza as assíntotas verticais, quando existirem.\n
(vii) Deduza as assíntotas oblíquas, quando existirem.\n
(viii) Esboce o gráfico indicando suas respectivas assíntotas e seus máximos e mínimos globais (se existirem).\n\n
Informações dadas: a função é
Passo 2
Determinar o domínio de
.\n
Por definição de função racional, o denominador não pode ser zero. Então precisamos de , isto é
.\n
Portanto o domínio é
Por definição de função racional, o denominador não pode ser zero. Então precisamos de
Portanto o domínio é
ou seja todos os reais exceto
.
Passo 3
Calcular a derivada primeira
e explicar a regra usada.\n
Vou reescrever a função em potências para aplicar a regra do poder (derivada de é
) e a regra do produto simples:
Vou reescrever a função em potências para aplicar a regra do poder (derivada de
Derivando termo a termo:
Somando,
Colocando em forma racional comum (fatorando
):
Explicação resumida: usei a representação em potências e a regra
. Também é possível obter o mesmo resultado usando a regra do quociente, os resultados coincidem.
Passo 4
Encontrar pontos críticos e estudar sinal de
para achar intervalos de crescimento/decrescimento.\n
Pontos críticos ocorrem quando ou
é indefinida (e
está no domínio).\n
Resolver :
Pontos críticos ocorrem quando
Resolver
O ponto
faz
indefinida, mas
não pertence ao domínio, então não é ponto crítico dentro do domínio. Assim o único ponto crítico no domínio é
.\n\n
Agora o estudo de sinais de . Observações úteis:\n
Agora o estudo de sinais de
- O sinal do quociente é o produto do sinal do numerador
com o sinal de .\n - O sinal de
muda em .\n- O sinal de é o mesmo sinal de (negativo para , positivo para ).\n\n
Faço a tabela de sinais mentalmente dividindo em intervalos chave:\n\n - Para
: temos . Também . Logo .\n- Para : . E . Logo .\n- Para : . E . Logo .\n\n
Conclusão sobre monotonicidade:\n -
é decrescente em .\n -
é crescente em .\n -
é decrescente em .\n\n
Comomuda de negativo para positivo em , é um mínimo local. Vou calcular o valor:\n
Passo 5
Calcular a derivada segunda
e estudar concavidade e pontos de inflexão, explicando a regra usada.\n
Partindo de , uso a derivação de quociente ou produto; aqui reescrevo
e uso a regra do produto:
.\n
Se então
. Se
então
.\n
Então
Partindo de
Se
Então
Simplificando:
Colocando sobre o mesmo denominador
:
Fatorando:
Observações:
para todo
. Assim o sinal de
é o mesmo do numerador
, ou seja do fator
.\n
Zerar dá
. O ponto
não pertence ao domínio.\n\n
Sinal de :\n
Zerar
Sinal de
- Para
: então (concavidade para baixo).\n- Para : então (concavidade para cima).\n- Para : então (concavidade para cima).\n\n
Portanto há mudança de concavidade em, que é um ponto de inflexão (pois muda de sinal). Calculo o ponto:\n
Passo 6
Classificação dos pontos críticos, pontos de inflexão e extremos globais.\n
Recapitulando:\n
Recapitulando:\n
- Ponto crítico:
. Valor . Como muda de negativo para positivo, é um mínimo local.\n - Pontos onde
: e (este último fora do domínio). Então é ponto de inflexão (concavidade muda de baixo para cima). Valor .\n\n
Máximos/mínimos globais: observar comportamento para extremos do domínio.\n -
e (ver cálculo de assíntota vertical no passo seguinte). Logo função é não limitada acima nos arredores de , então não há máximo global finito.\n - Para
, . Como assume valores negativos (por exemplo ) e o menor valor que encontramos é , precisamos verificar se esse é o mínimo global. Para a função tende a , que é maior que . Para os valores são positivos. Portanto o mínimo local em é também mínimo global (valor mais baixo atingido pela função).\n
Conclusão: há um mínimo global emcom . Não há máximo global.
Passo 7
Determinar assíntotas verticais, horizontais e oblíquas com cálculos de limites explicados.\n
Assíntotas verticais:\n
Assíntotas verticais:\n
São valores
onde a função tende a
. O único ponto onde o denominador zera é
, então investigamos\n
Usando a forma
:\n
- Para
: e , logo \n - Para
: e . Entre e , o termo domina para muito pequeno, então o somatório tende a . Mais formalmente, escrevendo e observando que para o numerador tende a e o denominador tende a , portanto o quociente tende a . Assim \n
Conclusão:é assíntota vertical e ambas as ramificações vão para .\n\n
Assíntotas horizontais:\n
Para horizontais avaliamos limites em
. Como
, normalmente há assíntota horizontal
. Verifico:\n
Então
é assíntota horizontal.\n
Observações de sinal ao aproximar infinito: para ambos os termos são positivos então a aproximação é por valores positivos; para
o termo
domina numericamente sobre
e é negativo, então a aproximação é por valores negativos. Isso não altera que a assíntota é
, apenas descreve de que lado a curva se aproxima.\n\n
Assíntotas oblíquas:\n
Assíntota oblíqua aparece quando o grau do numerador é exatamente um grau maior que o denominador. Aqui , logo não há assíntota oblíqua. Outra verificação é que já existe assíntota horizontal
, o que exclui oblíqua.
Observações de sinal ao aproximar infinito: para
Assíntotas oblíquas:\n
Assíntota oblíqua aparece quando o grau do numerador é exatamente um grau maior que o denominador. Aqui
Passo 8
Descrever comportamento da curva em cada ramo, pontos notáveis e indicar o esboço mental do gráfico.\n
Pontos e valores já calculados:\n
Pontos e valores já calculados:\n
Assíntotas: vertical
; horizontal
. Sem oblíquas.\n\n
Comportamento por intervalos:\n
Comportamento por intervalos:\n
- Para
: é decrescente, tende a quando (assíntota vertical) e tende a quando (assíntota horizontal). Exemplo: .\n - Para
: conforme o estudo de sinais, de até a função é decrescente, depois cresce até . Especificamente:\n - Para
: (aproxima-se do eixo pelo lado negativo).\n - Em ocorre ponto de inflexão com (passa de concavidade para baixo para concavidade para cima).\n - Em ocorre mínimo global com .\n - Em a função cruza o eixo (raí z) em .\n - Ao aproximar : .\n\n
Esboço mental do gráfico (como desenhar na prova):\n
- Para
- Trace a reta vertical
(assíntota) e a linha horizontal (assíntota).\n - Para
: desenhe uma curva que vem de perto de , decresce suavemente e aproxima-se de por cima conforme .\n - Para
: a curva chega de quando , desce (concavidade para baixo) até um ponto de inflexão em (valor ), continua descendo até o mínimo em (valor ), depois sobe atravessando o eixo em e diverge para quando . A curva é côncava para cima em .\n\n
Indicações finais sobre máximos/mínimos globais: mínimo global emcom . Não há máximo global (a função vai para em ).
Resposta
(i) Domínio:
\n
(ii) Crescimento/decrescimento: decrescente em , crescente em
, decrescente em
.\n
(iii) Concavidade: concava para baixo em ; concava para cima em
e em
.\n
(iv) Pontos críticos, máximos e mínimos, pontos de inflexão: ponto crítico (mínimo local e mínimo global) com
. Ponto de inflexão em
com
. Não há máximos locais finitos.\n
(v) Assíntotas horizontais: .\n
(vi) Assíntotas verticais: (ambos os limites laterais em
são
).\n
(vii) Assíntotas oblíquas: nenhuma.\n
(viii) Esboço (descrição): para ramo que vai de
em
decrescendo e aproximando-se de
quando
; para
ramo que vem de
em
, desce (côncavo para baixo) até inflexão em
, atinge mínimo global em
, sobe atravessando
e diverge para
em
. Assíntotas:
e
.
(ii) Crescimento/decrescimento: decrescente em
(iii) Concavidade: concava para baixo em
(iv) Pontos críticos, máximos e mínimos, pontos de inflexão: ponto crítico
(v) Assíntotas horizontais:
(vi) Assíntotas verticais:
(vii) Assíntotas oblíquas: nenhuma.\n
(viii) Esboço (descrição): para