Dado uma função, realize os seguintes procedimentos:
(i) Exiba o Domínio.
(ii) Descreva os intervalos de crescimento e decrescimento.
(iii) Descreva os intervalos de concavidade para cima e para baixo.
(iv) Aponte os mínimos e máximos locais, os pontos críticos e os pontos de inflexão, quando existirem.
(v) Deduza as assíntotas horizontais, quando existirem.
(vi) Deduza as assíntotas verticais, quando existirem.
(vii) Deduza as assíntotas oblíquas, quando existirem.
(viii) Esboce o gráfico indicando suas respectivas assíntotas (se existirem) e seus máximos e mínimos globais (se existirem).
As possíveis funções são:
f(x)=\frac{1+x}{x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede, para a função \displaystyle f(x)=\frac{1+x}{x^{2}}, que eu faça os itens (i) a (viii):\n
(i) Exiba o domínio.\n
(ii) Descreva os intervalos de crescimento e decrescimento.\n
(iii) Descreva os intervalos de concavidade para cima e para baixo.\n
(iv) Aponte os mínimos e máximos locais, os pontos críticos e os pontos de inflexão, quando existirem.\n
(v) Deduza as assíntotas horizontais, quando existirem.\n
(vi) Deduza as assíntotas verticais, quando existirem.\n
(vii) Deduza as assíntotas oblíquas, quando existirem.\n
(viii) Esboce o gráfico indicando suas respectivas assíntotas e seus máximos e mínimos globais (se existirem).\n\n
Informações dadas: a função é \displaystyle f(x)=\frac{1+x}{x^{2}}. Não há outras figuras ou tabelas no enunciado. Vou trabalhar explicitamente com essa função, calcular derivadas, limites e estudar sinais para responder todos os itens.

Passo 2

Determinar o domínio de \displaystyle f(x)=\frac{1+x}{x^{2}}.\n
Por definição de função racional, o denominador não pode ser zero. Então precisamos de x^{2}\neq 0, isto é x\neq 0.\n
Portanto o domínio é
\{x\in\mathbb{R}\mid x\neq 0\},
ou seja todos os reais exceto x=0.

Passo 3

Calcular a derivada primeira \displaystyle f'(x) e explicar a regra usada.\n
Vou reescrever a função em potências para aplicar a regra do poder (derivada de x^{n} é n x^{n-1}) e a regra do produto simples:
\frac{1+x}{x^{2}} = x^{-2} + x^{-1}.
Derivando termo a termo:
\frac{d}{dx}\bigl(x^{-2}\bigr) = -2x^{-3},\qquad \frac{d}{dx}\bigl(x^{-1}\bigr) = -x^{-2}.
Somando,
\displaystyle f'(x) = -2x^{-3} - x^{-2}.
Colocando em forma racional comum (fatorando x^{-3}):
\displaystyle f'(x) = -\frac{2}{x^{3}} - \frac{1}{x^{2}} = -\frac{2+x}{x^{3}}.
Explicação resumida: usei a representação em potências e a regra \frac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1}. Também é possível obter o mesmo resultado usando a regra do quociente, os resultados coincidem.

Passo 4

Encontrar pontos críticos e estudar sinal de \displaystyle f'(x) para achar intervalos de crescimento/decrescimento.\n
Pontos críticos ocorrem quando f'(x)=0 ou f'(x) é indefinida (e x está no domínio).\n
Resolver f'(x)=0:
-\frac{2+x}{x^{3}}=0 \quad\Longleftrightarrow\quad 2+x=0 \quad\Longleftrightarrow\quad x=-2.
O ponto x=0 faz f'(x) indefinida, mas x=0 não pertence ao domínio, então não é ponto crítico dentro do domínio. Assim o único ponto crítico no domínio é x=-2.\n\n
Agora o estudo de sinais de f'(x)=-\dfrac{2+x}{x^{3}}. Observações úteis:\n
  • O sinal do quociente é o produto do sinal do numerador -(2+x) com o sinal de 1/x^{3}.\n
  • O sinal de -(2+x) muda em x=-2.\n- O sinal de x^{3} é o mesmo sinal de x (negativo para x<0, positivo para x>0).\n\n
    Faço a tabela de sinais mentalmente dividindo em intervalos chave (-\infty,-2),\;(-2,0),\;(0,\infty):\n\n
  • Para x<-2: temos 2+x<0\Rightarrow -(2+x)>0. Também x^{3}<0. Logo f'(x)=(\text{positivo})/(\text{negativo})<0.\n- Para -2<x<0: 2+x>0\Rightarrow -(2+x)<0. E x^{3}<0. Logo f'(x)=(\text{negativo})/(\text{negativo})>0.\n- Para x>0: 2+x>0\Rightarrow -(2+x)<0. E x^{3}>0. Logo f'(x)=(\text{negativo})/(\text{positivo})<0.\n\n
    Conclusão sobre monotonicidade:\n
  • \displaystyle f é decrescente em (-\infty,-2).\n
  • \displaystyle f é crescente em (-2,0).\n
  • \displaystyle f é decrescente em (0,\infty).\n\n
    Como f' muda de negativo para positivo em x=-2, x=-2 é um mínimo local. Vou calcular o valor:\n
f(-2)=\frac{1+(-2)}{(-2)^{2}}=\frac{-1}{4}=-\frac{1}{4}.

Passo 5

Calcular a derivada segunda \displaystyle f''(x) e estudar concavidade e pontos de inflexão, explicando a regra usada.\n
Partindo de f'(x)=-\dfrac{2+x}{x^{3}}, uso a derivação de quociente ou produto; aqui reescrevo f'(x)=-(2+x)x^{-3} e uso a regra do produto: \frac{d}{dx}[u(x)v(x)]=u'(x)v(x)+u(x)v'(x).\n
Se u(x)=-(2+x) então u'(x)=-1. Se v(x)=x^{-3} então v'(x)=-3x^{-4}.\n
Então
f''(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x) = -1\cdot x^{-3} + (-(2+x))\cdot(-3x^{-4}).
Simplificando:
f''(x) = -x^{-3} + 3(2+x)x^{-4}.
Colocando sobre o mesmo denominador x^{4}:
f''(x) = \frac{-x + 3(2+x)}{x^{4}} = \frac{-x +6 +3x}{x^{4}} = \frac{6+2x}{x^{4}}.
Fatorando:
\boxed{\,f''(x)=\frac{2(3+x)}{x^{4}}\,}.
Observações: x^{4}>0 para todo x\neq 0. Assim o sinal de f''(x) é o mesmo do numerador 2(3+x), ou seja do fator (3+x).\n
Zerar f''(x) 3+x=0\Rightarrow x=-3. O ponto x=0 não pertence ao domínio.\n\n
Sinal de f'':\n
  • Para x<-3: 3+x<0 então f''(x)<0 (concavidade para baixo).\n- Para -3<x<0: 3+x>0 então f''(x)>0 (concavidade para cima).\n- Para x>0: 3+x>0 então f''(x)>0 (concavidade para cima).\n\n
    Portanto há mudança de concavidade em x=-3, que é um ponto de inflexão (pois f'' muda de sinal). Calculo o ponto:\n
f(-3)=\frac{1+(-3)}{(-3)^{2}}=\frac{-2}{9}=-\frac{2}{9}.

Passo 6

Classificação dos pontos críticos, pontos de inflexão e extremos globais.\n
Recapitulando:\n
  • Ponto crítico: x=-2. Valor f(-2)=-\dfrac{1}{4}. Como f' muda de negativo para positivo, é um mínimo local.\n
  • Pontos onde f''=0: x=-3 e x=0 (este último fora do domínio). Então x=-3 é ponto de inflexão (concavidade muda de baixo para cima). Valor f(-3)=-\dfrac{2}{9}.\n\n
    Máximos/mínimos globais: observar comportamento para extremos do domínio.\n
  • \displaystyle \lim_{x\to 0^{+}} f(x)=+\infty e \displaystyle \lim_{x\to 0^{-}} f(x)=+\infty (ver cálculo de assíntota vertical no passo seguinte). Logo função é não limitada acima nos arredores de 0, então não há máximo global finito.\n
  • Para x\to\pm\infty, \displaystyle f(x)\to 0. Como f assume valores negativos (por exemplo f(-2)=-\tfrac{1}{4}) e o menor valor que encontramos é f(-2)=-\tfrac{1}{4}, precisamos verificar se esse é o mínimo global. Para x\to -\infty a função tende a 0^{-}, que é maior que -\tfrac{1}{4}. Para x>0 os valores são positivos. Portanto o mínimo local em x=-2 é também mínimo global (valor mais baixo atingido pela função).\n
    Conclusão: há um mínimo global em x=-2 com f(-2)=-\tfrac{1}{4}. Não há máximo global.

Passo 7

Determinar assíntotas verticais, horizontais e oblíquas com cálculos de limites explicados.\n
Assíntotas verticais:\n
São valores x=a onde a função tende a \pm\infty. O único ponto onde o denominador zera é x=0, então investigamos\n \lim_{x\to 0^{+}} f(x) \quad\text{e}\quad \lim_{x\to 0^{-}} f(x).
Usando a forma f(x)=x^{-2}+x^{-1}:\n
  • Para x\to 0^{+}: x^{-2}\to +\infty e x^{-1}\to +\infty, logo \displaystyle \lim_{x\to 0^{+}} f(x)=+\infty.\n
  • Para x\to 0^{-}: x^{-2}\to +\infty e x^{-1}\to -\infty. Entre |x^{-2}| e |x^{-1}|, o termo x^{-2} domina para x muito pequeno, então o somatório tende a +\infty. Mais formalmente, escrevendo f(x)=\dfrac{1+x}{x^{2}} e observando que para x\to 0^{-} o numerador tende a 1 e o denominador tende a 0^{+}, portanto o quociente tende a +\infty. Assim \displaystyle \lim_{x\to 0^{-}} f(x)=+\infty.\n
    Conclusão: x=0 é assíntota vertical e ambas as ramificações vão para +\infty.\n\n
    Assíntotas horizontais:\n
Para horizontais avaliamos limites em \pm\infty. Como \deg(\text{num})=1<\deg(\text{den})=2, normalmente há assíntota horizontal y=0. Verifico:\n \lim_{x\to+\infty} f(x)=\lim_{x\to+\infty}\left(\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{x}\right)=0,
\lim_{x\to-\infty} f(x)=\lim_{x\to-\infty}\left(\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{x}\right)=0.
Então y=0 é assíntota horizontal.\n
Observações de sinal ao aproximar infinito: para x\to+\infty ambos os termos são positivos então a aproximação é por valores positivos; para x\to -\infty o termo 1/x domina numericamente sobre 1/x^{2} e é negativo, então a aproximação é por valores negativos. Isso não altera que a assíntota é y=0, apenas descreve de que lado a curva se aproxima.\n\n
Assíntotas oblíquas:\n
Assíntota oblíqua aparece quando o grau do numerador é exatamente um grau maior que o denominador. Aqui \deg(\text{num})=1<2=\deg(\text{den}), logo não há assíntota oblíqua. Outra verificação é que já existe assíntota horizontal y=0, o que exclui oblíqua.

Passo 8

Descrever comportamento da curva em cada ramo, pontos notáveis e indicar o esboço mental do gráfico.\n
Pontos e valores já calculados:\n
\text{Domínio: } x\in(-\infty,0)\cup(0,\infty).í
\text{Raiz (onde }f=0\text{): } 1+x=0\Rightarrow x=-1,\quad f(-1)=0.
\text{Mínimo local/global: } x=-2,\quad f(-2)=-\tfrac{1}{4}.í
\text{Ponto de inflexão: } x=-3,\quad f(-3)=-\tfrac{2}{9}.ã
Assíntotas: vertical x=0; horizontal y=0. Sem oblíquas.\n\n
Comportamento por intervalos:\n
  • Para x>0: f é decrescente, tende a +\infty quando x\to 0^{+} (assíntota vertical) e tende a 0^{+} quando x\to+\infty (assíntota horizontal). Exemplo: f(1)=2,\;f(2)=3/4.\n
  • Para x<0: conforme o estudo de sinais, de x=-\infty até x=-2 a função é decrescente, depois cresce até 0. Especificamente:\n
    • Para x\to -\infty: f(x)\to 0^{-} (aproxima-se do eixo x pelo lado negativo).\n - Em x=-3 ocorre ponto de inflexão com f(-3)=-\tfrac{2}{9} (passa de concavidade para baixo para concavidade para cima).\n - Em x=-2 ocorre mínimo global com f(-2)=-\tfrac{1}{4}.\n - Em x=-1 a função cruza o eixo x (raí z) em f(-1)=0.\n - Ao aproximar x\to 0^{-}: f(x)\to +\infty.\n\n
      Esboço mental do gráfico (como desenhar na prova):\n
  • Trace a reta vertical x=0 (assíntota) e a linha horizontal y=0 (assíntota).\n
  • Para x>0: desenhe uma curva que vem de +\infty perto de 0^{+}, decresce suavemente e aproxima-se de y=0 por cima conforme x\to+\infty.\n
  • Para x<0: a curva chega de y=0^{-} quando x\to -\infty, desce (concavidade para baixo) até um ponto de inflexão em x=-3 (valor -\tfrac{2}{9}), continua descendo até o mínimo em x=-2 (valor -\tfrac{1}{4}), depois sobe atravessando o eixo em x=-1 e diverge para +\infty quando x\to 0^{-}. A curva é côncava para cima em (-3,0).\n\n
    Indicações finais sobre máximos/mínimos globais: mínimo global em x=-2 com f(-2)=-\tfrac{1}{4}. Não há máximo global (a função vai para +\infty em x\to 0^{\pm}).

Resposta

(i) Domínio: \{x\in\mathbb{R}\mid x\neq 0\}.\n
(ii) Crescimento/decrescimento: decrescente em (-\infty,-2), crescente em (-2,0), decrescente em (0,\infty).\n
(iii) Concavidade: concava para baixo em (-\infty,-3); concava para cima em (-3,0) e em (0,\infty).\n
(iv) Pontos críticos, máximos e mínimos, pontos de inflexão: ponto crítico x=-2 (mínimo local e mínimo global) com f(-2)=-\tfrac{1}{4}. Ponto de inflexão em x=-3 com f(-3)=-\tfrac{2}{9}. Não há máximos locais finitos.\n
(v) Assíntotas horizontais: y=0.\n
(vi) Assíntotas verticais: x=0 (ambos os limites laterais em 0 são +\infty).\n
(vii) Assíntotas oblíquas: nenhuma.\n
(viii) Esboço (descrição): para x>0 ramo que vai de +\infty em 0^{+} decrescendo e aproximando-se de y=0^{+} quando x\to+\infty; para x<0 ramo que vem de y=0^{-} em -\infty, desce (côncavo para baixo) até inflexão em (-3,-\tfrac{2}{9}), atinge mínimo global em (-2,-\tfrac{1}{4}), sobe atravessando (-1,0) e diverge para +\infty em 0^{-}. Assíntotas: x=0 e y=0.

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