Dado a função x^{2}-5
a) Determine a quantidade de raízes através do método de Descartes.
b) Isole todas as raízes. Justifique sua resposta.
c) Calcule a raiz positiva pelo de método de Bisseção para três iterações. Calcule o erro.

Passo 1

O enunciado nos dá a função f(x)=x^{2}-5 e pede:
a) determinar a quantidade de raízes reais pela regra de sinais de Descartes;
b) isolar cada raiz em um intervalo onde ocorra mudança de sinal (teorema de Bolzano);
c) aproximar a raiz positiva pelo método da bisseção em três iterações e calcular o erro.

Passo 2

Pela regra de sinais de Descartes contamos as variações de sinal nos coeficientes de f(x) e de f(-x): f(x)=x^{2}-5 tem sinais dos coeficientes +, -, logo 1 variação → até 1 raiz positiva. f(-x)=(-x)^{2}-5=x^{2}-5 tem também 1 variação → até 1 raiz negativa.
Como é um polinômio de grau 2, concluímos que ele tem exatamente 2 raízes reais: uma positiva e outra negativa.

Passo 3

Para isolar as raízes usamos o teorema de Bolzano (mudança de sinal):
Para a raiz positiva tomamos o intervalo [2,3]:
f(2)=2^{2}-5=-1,\quad f(3)=3^{2}-5=4
Há mudança de sinal, logo existe uma raiz em (2,3).
Para a raiz negativa tomamos [-3,-2]:
f(-3)=9-5=4,\quad f(-2)=4-5=-1
Também há mudança de sinal, logo existe uma raiz em (-3,-2).

Passo 4

Aplicamos o método da bisseção em [2,3]:
Iteração 1: m_{1}=\tfrac{2+3}{2}=2{,}5,
f(2{,}5)=2{,}5^{2}-5=1{,}25>0,
como f(2)=-1<0, nova raiz está em [2,2{,}5].
Iteração 2: m_{2}=\tfrac{2+2{,}5}{2}=2{,}25,
f(2{,}25)=2{,}25^{2}-5=0{,}0625>0,
nova raiz em [2,2{,}25].
Iteração 3: m_{3}=\tfrac{2+2{,}25}{2}=2{,}125,
f(2{,}125)=2{,}125^{2}-5=-0{,}484375<0,
nova raiz em [2{,}125,2{,}25].
A aproximação após 3 iterações é m_{3}=2{,}125.

Passo 5

O erro máximo garantido pelo método da bisseção é
E\le\frac{b-a}{2^{n}}=\frac{3-2}{2^{3}}=\frac{1}{8}=0{,}125.
O erro real comparando com \sqrt{5}\approx2{,}23607 é
|2{,}125-\sqrt{5}|\approx0{,}11107.

Resposta

a) Pela regra de Descartes há 1 raiz positiva e 1 raiz negativa (total 2 reais).
b) A raiz positiva está em (2,3) e a negativa em (-3,-2).
c) Após 3 iterações da bisseção em [2,3] obtemos x\approx2{,}125 com erro máximo E\le0{,}125 (erro real \approx0{,}11107).

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