Dado a função
a) Determine a quantidade de raízes através do método de Descartes.
b) Isole todas as raízes. Justifique sua resposta.
c) Calcule a raiz positiva pelo de método de Bisseção para três iterações. Calcule o erro.
a) Determine a quantidade de raízes através do método de Descartes.
b) Isole todas as raízes. Justifique sua resposta.
c) Calcule a raiz positiva pelo de método de Bisseção para três iterações. Calcule o erro.
Passo 1
O enunciado nos dá a função
e pede:
a) determinar a quantidade de raízes reais pela regra de sinais de Descartes;
b) isolar cada raiz em um intervalo onde ocorra mudança de sinal (teorema de Bolzano);
c) aproximar a raiz positiva pelo método da bisseção em três iterações e calcular o erro.
a) determinar a quantidade de raízes reais pela regra de sinais de Descartes;
b) isolar cada raiz em um intervalo onde ocorra mudança de sinal (teorema de Bolzano);
c) aproximar a raiz positiva pelo método da bisseção em três iterações e calcular o erro.
Passo 2
Pela regra de sinais de Descartes contamos as variações de sinal nos coeficientes de
e de
:
tem sinais dos coeficientes
,
, logo 1 variação → até 1 raiz positiva.
tem também 1 variação → até 1 raiz negativa.
Como é um polinômio de grau 2, concluímos que ele tem exatamente 2 raízes reais: uma positiva e outra negativa.
Como é um polinômio de grau 2, concluímos que ele tem exatamente 2 raízes reais: uma positiva e outra negativa.
Passo 3
Para isolar as raízes usamos o teorema de Bolzano (mudança de sinal):
Para a raiz positiva tomamos o intervalo :
Para a raiz positiva tomamos o intervalo
Há mudança de sinal, logo existe uma raiz em
.
Para a raiz negativa tomamos :
Para a raiz negativa tomamos
Também há mudança de sinal, logo existe uma raiz em
.
Passo 4
Aplicamos o método da bisseção em
:
Iteração 1: ,
Iteração 1:
como
, nova raiz está em
.
Iteração 2: ,
Iteração 2:
nova raiz em
.
Iteração 3: ,
Iteração 3:
nova raiz em
.
A aproximação após 3 iterações é .
A aproximação após 3 iterações é
Passo 5
O erro máximo garantido pelo método da bisseção é
O erro real comparando com
é
Resposta
a) Pela regra de Descartes há 1 raiz positiva e 1 raiz negativa (total 2 reais).
b) A raiz positiva está em e a negativa em
.
c) Após 3 iterações da bisseção em obtemos
com erro máximo
(erro real
).
b) A raiz positiva está em
c) Após 3 iterações da bisseção em