Nos itens abaixo esboce a região de integração e calcule a integral dupla, mudando a ordem de integr necessário:
(1.25) \int_{0}^{2} \int_{\frac{y}{2}}^{1} e^{x^{2}} d x d y.

Passo 1

O enunciado pede o cálculo da integral dupla
\int_{0}^{2}\int_{\frac{y}{2}}^{1}e^{x^{2}}\,dx\,dy
mudando a ordem de integração. O conteúdo envolve integrais duplas e troca de ordem para conseguir calcular uma função e^{x^{2}}, que não tem primitiva elementar em x.

Passo 2

Descrevemos a região R no plano xy por
0 \le y \le 2, \quad \frac{y}{2}\le x \le 1.
No esboço, traçamos a reta x=y/2 (passando pela origem com inclinação 1/2), a reta vertical x=1 e as horizontais y=0 e y=2.

Passo 3

Para trocar a ordem, isolamos x primeiro. Vê-se que x vai de 0 a 1 e, para cada x, o y varia de 0 até a reta y=2x. Logo
R=\{(x,y)\mid 0\le x\le1,\;0\le y\le2x\}
e a integral fica
\int_{0}^{2}\int_{\frac{y}{2}}^{1}e^{x^{2}}\,dx\,dy =\int_{0}^{1}\int_{0}^{2x}e^{x^{2}}\,dy\,dx.

Passo 4

Calculamos a integral interna em y:
\int_{0}^{2x}e^{x^{2}}\,dy =e^{x^{2}}\bigl[y\bigr]_{0}^{2x} =2x\,e^{x^{2}}.
Portanto a integral reduz-se a
\int_{0}^{1}2x\,e^{x^{2}}\,dx.

Passo 5

Para \int_{0}^{1}2x\,e^{x^{2}}\,dx, fazemos u=x^{2}, du=2x\,dx. Quando x=0, u=0; quando x=1, u=1. Assim
\int_{0}^{1}2x\,e^{x^{2}}\,dx =\int_{0}^{1}e^{u}\,du =e^{u}\Big|_{0}^{1} =e-1.

Resposta

e - 1

Exercícios relacionados