Determine a integral \int \operatorname{sec} ^{4} x \operatorname{tg}^{3} x d x
Escolha uma opção:
\frac{1}{4} \operatorname{sec} ^{4} x-\frac{1}{6} \operatorname{tg}^{6} x+C
\frac{1}{4} \operatorname{tg}^{4} x-\frac{1}{6} \operatorname{tg}^{6} x+C
Nenhuma das demais alternativas
\frac{1}{4} \operatorname{sec} ^{4} x+\frac{1}{6} \operatorname{sec} ^{6} x+C
\frac{1}{4} \operatorname{tg}^{4} x-\frac{1}{6} \operatorname{sec} ^{6} x+C
4 \operatorname{tg}^{4} x+6 \operatorname{tg}^{6} x+C

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \operatorname{sec}^{4}x\,\tan^{3}x\,dx
Esse é um problema de integração de funções trigonométricas, e vamos usar duas ideias principais:
  1. Expressar parte da potência de \tan x em termos de \operatorname{sec} x usando \tan^{2}x = \operatorname{sec}^{2}x -1.
  2. Fazer a substituição u=\operatorname{sec} x, pois du = \operatorname{sec} x\,\tan x\,dx.

Passo 2

Reescrevemos a integral separando um fator \tan x\,dx para usar na substituição:
\int \operatorname{sec}^{4}x\,\tan^{3}x\,dx = \int \operatorname{sec}^{4}x\,\tan^{2}x\;\tan x\,dx = \int \operatorname{sec}^{4}x\,(\operatorname{sec}^{2}x-1)\;\tan x\,dx
Distribuindo, fica
\int \bigl(\operatorname{sec}^{6}x - \operatorname{sec}^{4}x\bigr)\,\tan x\,dx.

Passo 3

Fazemos a substituição
u = \operatorname{sec} x, \quad du = \operatorname{sec} x\,\tan x\,dx \quad\Longrightarrow\quad \tan x\,dx = \frac{du}{\operatorname{sec} x} = \frac{du}{u}.
Então
\int \bigl(\operatorname{sec}^{6}x - \operatorname{sec}^{4}x\bigr)\,\tan x\,dx = \int \bigl(u^{6}-u^{4}\bigr)\,\frac{du}{u} = \int \bigl(u^{5}-u^{3}\bigr)\,du.

Passo 4

Integramos em u:
\int \bigl(u^{5}-u^{3}\bigr)\,du = \frac{u^{6}}{6} - \frac{u^{4}}{4} + C.
Voltando à variável x com u=\operatorname{sec} x, obtemos
\frac{\operatorname{sec}^{6}x}{6} \;-\;\frac{\operatorname{sec}^{4}x}{4} + C = \frac{1}{6}\operatorname{sec}^{6}x \;-\;\frac{1}{4}\operatorname{sec}^{4}x + C.

Passo 5

Nenhuma das alternativas fornecidas coincide com
\frac{1}{6}\operatorname{sec}^{6}x - \frac{1}{4}\operatorname{sec}^{4}x + C,
portanto a resposta correta é a opção “Nenhuma das demais alternativas”.

Resposta

Nenhuma das demais alternativas

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