Dado as funções abaixo, calcule os limites desejados caso existam:
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^{3}+5 x^{2}+4 x}{x^{2}+3 x}

Passo 1

O enunciado nos pede o limite
\lim_{x\to 0}\frac{x^3 + 5x^2 + 4x}{x^2 + 3x}.
Trata-se de uma função racional que gera uma indeterminação do tipo 0/0 em x=0. Para resolver, vamos usar fatoração e simplificação de fatores comuns.

Passo 2

Fatoramos x no numerador e no denominador:
x^3 + 5x^2 + 4x = x\,(x^2 + 5x + 4),
x^2 + 3x = x\,(x + 3).

Passo 3

Como estamos analisando o limite (e não avaliando diretamente em x=0), podemos cancelar o fator comum x (para x\neq0) e obter a função equivalente
\frac{x^2 + 5x + 4}{x + 3}.
Essa expressão é contínua em x=0, logo basta fazer x=0:
\frac{0^2 + 5\cdot0 + 4}{0 + 3} = \frac{4}{3}.

Resposta

\tfrac{4}{3}

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