QUESTÃO 3 [valor: 3,0 pontos]
Calcule a integral \iint y^{2} \operatorname{sen} x^{2} d x d y definida na região D limitada por y=x^{1 / 3}, y=-x^{\frac{1}{3}} e x=8.

Passo 1

O enunciado pede que a gente calcule a integral dupla
\iint_{D} y^{2}\,\sin(x^{2})\,dx\,dy
onde D é a região limitada pelas curvas
y = x^{1/3}, \quad y = -\,x^{1/3}, \quad x = 8.
O conteúdo aqui é mudança para integrais iteradas e uso de substituição em integrais simples.

Passo 2

Para descrever D em coordenadas cartesianas, observamos que as curvas y=\pm x^{1/3} se cruzam em x=0 e o limite vertical é x=8. Logo,
0 \le x \le 8, \quad -\,x^{1/3} \le y \le x^{1/3}.
A integral vira
\int_{x=0}^{8}\!\Bigl(\int_{y=-x^{1/3}}^{x^{1/3}} y^{2}\,\sin(x^{2})\,dy\Bigr)\,dx.

Passo 3

Dentro da integral em y, \sin(x^{2}) é constante em função de y. Então
\int_{-x^{1/3}}^{x^{1/3}} y^{2}\,\sin(x^{2})\,dy =\sin(x^{2})\int_{-x^{1/3}}^{x^{1/3}} y^{2}\,dy.
Como \int_{-a}^{a}y^{2}dy = \tfrac{2a^{3}}{3} com a = x^{1/3}, obtemos
\int_{-x^{1/3}}^{x^{1/3}} y^{2}dy = \frac{2\,(x^{1/3})^{3}}{3} = \frac{2x}{3}.
Portanto a integral interna é \frac{2x}{3}\,\sin(x^{2}).

Passo 4

Substituindo no integral em x, fica
\int_{0}^{8} \frac{2x}{3}\,\sin(x^{2})\,dx.
Para resolver, fazemos a substituição
t = x^{2}, \quad dt = 2x\,dx \;\Longrightarrow\; x\,dx = \frac{dt}{2}.
Logo
\int_{0}^{8}\frac{2x}{3}\,\sin(x^{2})\,dx = \frac{2}{3}\int_{0}^{8}x\,\sin(x^{2})\,dx = \frac{2}{3}\int_{t=0}^{64}\sin t\;\frac{dt}{2} = \frac{1}{3}\int_{0}^{64}\sin t\,dt.

Passo 5

A integral de \sin t é -\cos t. Então
\frac{1}{3}\int_{0}^{64}\sin t\,dt = \frac{1}{3}\bigl[-\cos t\bigr]_{0}^{64} = -\frac{1}{3}\bigl(\cos(64)-\cos(0)\bigr) = \frac{1}{3}\bigl(1-\cos(64)\bigr).

Resposta

\frac{1-\cos(64)}{3}.

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