Dado as funções abaixo, calcule os limites desejados caso existam:
\lim _{x \rightarrow 3} \sqrt{\frac{3 x+2 x^{2}}{2 x-x^{2}}}

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{x\to 3} \sqrt{\frac{3x + 2x^2}{2x - x^2}}
Estamos em um contexto de limites de funções envolvendo raiz quadrada. Para existir o valor real dessa expressão, o quociente interno à raiz deve ser não negativo em alguma vizinhança de x=3.

Passo 2

Escrevemos a expressão dentro da raiz de modo simplificado:
\frac{3x + 2x^2}{2x - x^2} = \frac{x(3 + 2x)}{x(2 - x)}
Desde que x\neq 0, podemos cancelar x, obtendo
\frac{3 + 2x}{2 - x}.

Passo 3

Avaliamos o quociente no ponto x=3:
3 + 2\cdot 3 = 9, \quad 2 - 3 = -1,
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\frac{3 + 2\cdot 3}{2 - 3} = \frac{9}{-1} = -9.

Passo 4

Como o valor interno à raiz tende a -9 quando x\to 3, a expressão sob o radical é negativa em qualquer vizinhança de 3. Portanto, não há como definir a raiz quadrada no conjunto dos números reais próximo de x=3.

Resposta

O limite não existe no conjunto dos números reais.

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