Dado as funções abaixo, calcule os limites desejados caso existam:
\lim _{x \rightarrow 1} \sqrt{\frac{x^{2}-4 x}{x^{2}-3 x-4}}

Passo 1

O enunciado pede \displaystyle \lim_{x\to1}\sqrt{\frac{x^{2}-4x}{x^{2}-3x-4}}.
O conteúdo aqui é cálculo de limite de função composta com raiz quadrada. Vamos primeiro analisar a expressão dentro da raiz e depois aplicar a continuidade da raiz (desde que o radicando seja não-negativo em torno de x=1).

Passo 2

Defina a função interna
g(x)=\frac{x^{2}-4x}{x^{2}-3x-4}.
Como g é uma razão de polinômios e o denominador não se anula em x=1, g é contínua em x=1. Então
g(1)=\frac{1^2-4\cdot1}{1^2-3\cdot1-4}=\frac{1-4}{1-3-4}=\frac{-3}{-6}=\frac12.

Passo 3

Precisamos verificar se g(x) permanece não-negativa quando x se aproxima de 1, para garantir que a raiz esteja bem definida.
Para x ligeiramente menor ou maior que 1:
  • x^{2}-4x=x(x-4) é negativo (pois x\approx1 e x-4<0).
  • x^{2}-3x-4 também é negativo (pois ao substituir x\approx1 obtemos valor próximo de -6).
    Logo o quociente g(x) é positivo em torno de x=1.

Passo 4

Como g(x)\to \tfrac12>0 quando x\to1, a função composta \sqrt{g(x)} é contínua em torno de 1. Portanto
\lim_{x\to1}\sqrt{\frac{x^{2}-4x}{x^{2}-3x-4}} =\sqrt{\lim_{x\to1}g(x)} =\sqrt{\frac12} =\frac{\sqrt2}{2}.

Resposta

\displaystyle \frac{\sqrt2}{2}

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