Dado as funçoes
e
encontre
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem duas funções:
e
Precisamos encontrar a derivada de $ f(x) $, que é $ f’(x) $, e a nona derivada de $ g(x) $, que é $ g^{(9)}(x) $. Para isso, vamos usar regras de derivação como a derivada de funções compostas e logaritmos naturais.
Passo 2
Vamos começar encontrando $ f’(x) $. Quando temos uma função elevada a outra função, como $ (\sin x)^{\cos x} $, a gente pode usar a diferenciação logarítmica. Isso ajuda a simplificar a derivação.
Passo 3
Primeiro, vamos aplicar o logaritmo natural nos dois lados da equação:
Usando a propriedade dos logaritmos, isso vira:
Passo 4
Agora, vamos derivar ambos os lados em relação a $ x $. A derivada de $ \ln(f(x)) $ é $ \frac{f’(x)}{f(x)} $:
Aqui, usamos a regra do produto para derivar o lado direito.
Passo 5
Aplicando a regra do produto:
Sabemos que $ \frac{d}{dx} (\cos x) = -\sin x $ e que $ \frac{d}{dx} (\ln(\sin x)) = \frac{\cos x}{\sin x} $.
Passo 6
Substituindo as derivadas:
Simplificando:
Passo 7
Agora, isolamos $ f’(x) $ multiplicando ambos os lados por $ f(x) $:
Lembrando que $ f(x) = (\sin x)^{\cos x} $:
Passo 8
Agora, vamos encontrar $ g^{(9)}(x) $. Começamos derivando $ g(x) = x \ln(x) $ várias vezes para identificar um padrão.
Passo 9
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Terceira derivada:
Quarta derivada:
Percebemos que, a partir da segunda derivada, a forma geral das derivadas é:
Passo 10
Aplicando isso para $ n = 9 $:
Resposta
e