Dado as funçoes
f(x)=(sen x)^cos x
e
g(x)=x Ln(x)
encontre f^prime(x) e g^(9)(x).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem duas funções:
f(x)=(sin x)^cos x
e
g(x)=x ln(x)
Precisamos encontrar a derivada de $ f(x) $, que é $ f’(x) $, e a nona derivada de $ g(x) $, que é $ g^{(9)}(x) $. Para isso, vamos usar regras de derivação como a derivada de funções compostas e logaritmos naturais.

Passo 2

Vamos começar encontrando $ f’(x) $. Quando temos uma função elevada a outra função, como $ (\sin x)^{\cos x} $, a gente pode usar a diferenciação logarítmica. Isso ajuda a simplificar a derivação.

Passo 3

Primeiro, vamos aplicar o logaritmo natural nos dois lados da equação:
ln(f(x)) = ln( (sin x)^cos x )
Usando a propriedade dos logaritmos, isso vira:
ln(f(x)) = cos x cdot ln(sin x)

Passo 4

Agora, vamos derivar ambos os lados em relação a $ x $. A derivada de $ \ln(f(x)) $ é $ \frac{f’(x)}{f(x)} $:
x
Aqui, usamos a regra do produto para derivar o lado direito.

Passo 5

Aplicando a regra do produto:
f'(x)f(x) = ddx (cos x) cdot ln(sin x) + cos x cdot ddx (ln(sin x))
Sabemos que $ \frac{d}{dx} (\cos x) = -\sin x $ e que $ \frac{d}{dx} (\ln(\sin x)) = \frac{\cos x}{\sin x} $.

Passo 6

Substituindo as derivadas:
f'(x)f(x) = -sin x cdot ln(sin x) + cos x cdot cos xsin x
Simplificando:
f'(x)f(x) = -sin x ln(sin x) + cos^2 xsin x

Passo 7

Agora, isolamos $ f’(x) $ multiplicando ambos os lados por $ f(x) $:
f'(x)
Lembrando que $ f(x) = (\sin x)^{\cos x} $:
f(x)

Passo 8

Agora, vamos encontrar $ g^{(9)}(x) $. Começamos derivando $ g(x) = x \ln(x) $ várias vezes para identificar um padrão.

Passo 9

Primeira derivada:
g'(x) = ln(x) + 1
Segunda derivada:
g''(x) = 1x
Terceira derivada:
g'''(x) = -1x^2
Quarta derivada:
g''''(x) = 2x^3
Percebemos que, a partir da segunda derivada, a forma geral das derivadas é:
g^(n)(x) = (-1)^n-1 (n-2)!x^n-1

Passo 10

Aplicando isso para $ n = 9 $:
n = 9

Resposta

f'(x) = (sin x)^cos x ( -sin x ln(sin x) + cos^2 xsin x )
e
g^(9)(x) = 5040x^8

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