Use algum artifício algébrico e determine cada integral:
integral cos ^2(3 theta) d theta

Passo 1

O exercício pede para calcular a integral integral cos^2(3theta),dtheta. Isso faz parte de integração de funções trigonométricas e vamos usar um artifício algébrico (identidade de redução de potência) para simplificar antes de integrar.

Passo 2

Usamos a identidade trigonométrica de redução de potência para cos^2(x):
cos^2(3theta)=1+cos(2cdot3theta)2=1+cos(6theta)2

Passo 3

Substituímos na integral e dividimos em duas integrais mais simples:
integral cos^2(3theta),dtheta=integral 1+cos(6theta)2,dtheta=12integral 1,dtheta+12integral cos(6theta),dtheta

Passo 4

Agora calculamos cada parte:
  • 12integral 1,dtheta=12theta
  • Para 12integral cos(6theta),dtheta, usamos substituição simples ou a fórmula direta: integral cos(ktheta),dtheta=sin(ktheta)k. Assim: 12integral cos(6theta),dtheta=12cdotsin(6theta)6=sin(6theta)12

Resposta

theta2+sin(6theta)12+C

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