SUBSTITUIÇÃO, POR PARTES
integral x cdot e^2 x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral x cdot e^2x , dx. A gente vai usar o método de integração por partes, que é uma técnica para integrar produtos de funções. Vamos precisar identificar partes da expressão que vamos chamar de u e dv para aplicar a fórmula.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher o que será u e o que será dv. Geralmente, escolhemos u como a função que fica mais simples ao derivar e dv como o que dá para integrar facilmente.
Então, vamos deixar:
  • u = x (porque a derivada de x é simples)
  • dv = e^2x , dx (porque a integral de e^2x é direta)

Passo 3

Agora, vamos encontrar du e v:
  • du é a derivada de u em relação a x: du = dx
  • v é a integral de dv: integral e^2x , dx = 12 e^2x

Passo 4

Com esses valores, aplicamos a fórmula de integração por partes:
integral u , dv = u cdot v - integral v , du
Substituindo:
integral x cdot e^2x , dx = x cdot ( 12 e^2x ) - integral ( 12 e^2x ) cdot dx

Passo 5

Simplificando a expressão:
12 x e^2x - 12 integral e^2x , dx
A integral restante é simples de resolver:
integral e^2x , dx = 12 e^2x

Passo 6

Substituindo de volta:
12 x e^2x - 12 cdot 12 e^2x = 12 x e^2x - 14 e^2x

Resposta

Portanto, a integral é:
integral x cdot e^2x , dx = 12 x e^2x - 14 e^2x + C
onde C é a constante de integração.

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