Calcule as seguintes integrais definidas: integral0^pi / 2 x cos ^2 x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida integral0^pi/2 xcos^2 x ,dx. O conteúdo principal envolve usar a identidade trigonométrica de ângulo duplo para cos^2 x e depois aplicar integração por partes.

Passo 2

Primeiro usamos a identidade de ângulo duplo:
cos^2 x = 1+cos(2x)2

Passo 3

Substituindo na integral, obtemos
integral0^pi/2 xcos^2 x ,dx = integral0^pi/2 x1+cos(2x)2 ,dx = 12 integral0^pi/2 x ,dx + 12 integral0^pi/2 xcos(2x) ,dx

Passo 4

Chamando
I1 = 12 integral0^pi/2 x ,dx,
calculemos I1:
I1 = 12 [ x^22 ]0^pi/2 = 12 cdot (pi/2)^22 = pi^216

Passo 5

Chamando
I2 = 12 integral0^pi/2 xcos(2x) ,dx,
vamos usar integração por partes em integral0^pi/2 xcos(2x) ,dx. Seja u = x e dv = cos(2x),dx, então
$$
du = dx, \quad v = \frac{1}{2}\sin(2x).
$$

Passo 6

Logo:
integral0^pi/2 xcos(2x) ,dx = x cdot 12sin(2x) |0^pi/2 - integral0^pi/2 12sin(2x) ,dx

Passo 7

O termo de fronteira é zero porque sin(0)=sin(pi)=0. Então
integral0^pi/2 xcos(2x) ,dx = -12 integral0^pi/2 sin(2x) ,dx = -12 [ -12cos(2x) ]0^pi/2 = 14 l(cos(pi)-cos(0)r) = 14(-1-1) = -tfrac12
Como I2 = tfrac12 vezes esse resultado, temos
I2 = 12 cdot l(-tfrac12r) = -14

Passo 8

Somando I1 e I2, concluímos que
integral0^pi/2 xcos^2 x ,dx = pi^216 - 14

Resposta

pi^2 - 416

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